Страница 5 из 8
Предположим, вы собрались купить новые джинсы. Их продают со скидкой 20 % от цены 50 долларов, указанной на этикетке, что выглядит заманчиво, но имейте в виду, что вам также придётся заплатить 8 % налога с продаж. После того как продавщица закончит нахваливать, как великолепно джинсы на вас сидят, и начнёт оформлять покупку, она сделает паузу и заговорщицки шепнёт: «Позвольте мне сэкономить ваши деньги. Я сначала посчитаю налог, а затем 20 %-ную скидку от полученной суммы. Хорошо?»
Но что-то вас смущает. «Нет, спасибо, — говорите вы. — Не могли бы вы сначала вычесть 20 %-ную скидку, а затем снять налог с цены покупки? Тогда я заплачу меньше».
Какой способ более выгоден для вас? (Предположим, что оба законны.)
Столкнувшись с подобной задачей, многие решают её последовательным суммированием. Они вычисляют налоги и скидки в соответствии с заданным сценарием, а затем, чтобы определить окончательную цену, выполняют необходимое сложение или вычитание.
Если вы согласитесь с продавцом, то налог составит 4 доллара (8 % от цены на этикетке). И цена джинсов увеличится до 54 долларов. Тогда при 20 %-ной скидке от 54 долларов возвращённая сумма будет равняться 10,80 доллара. Итак, в конечном счёте вы заплатите 54 доллара минус 10,80 доллара, что в сумме даст 43,20 доллара.
В соответствии же с вашим сценарием сначала будет вычитаться 20 % скидки (на чём вы сэкономите 10 долларов от цены на этикетке). Тогда 8 % налога на льготную цену в 40 долларов составят 3,20 доллара, так что вы всё равно в конечном итоге заплатите 43,20 доллара. Удивительно?!
Но это же просто коммутативный закон в действии. Чтобы это понять, необходимо думать в стиле последовательного умножения, а не последовательного сложения. 8 % налога и последующая за ним 20 %-ная скидка вычисляются путём умножения цены на этикетке на 1,08 и последовательным умножением полученного результата на 0,80. Изменение порядка вычисления налога или скидки просто меняет местами сомножители, но, поскольку выполняется равенство 1,08∙0,80=0,80∙1,08; окончательная цена получается одинаковой[13].
Соображения, подобные этим, возникают и при принятии решений о больших финансовых сделках. Лучше или хуже традиционного пенсионного плана новый план недавно, принятый Конгрессом США (закон Roth 401(k))[14]? И вообще, если у вас есть куча денег, которые вы намерены инвестировать, но на них нужно платить налоги, то когда лучше это делать — в начале инвестиционного периода или в конце?
Повторяю ещё раз: коммутативный закон показывает, что при всех прочих равных условиях (которые, к сожалению, часто таковыми не являются) вы ничего не выигрываете. Если при обоих сценариях факторы роста денег и размеры налога одинаковы, то не имеет никакого значения, когда вам платить налоги — авансом или в конце периода.
Пожалуйста, не принимайте эти математические рассуждения за финансовый совет. Тем, кто сталкивается с решением подобных проблем, нужно учитывать, что в реальной жизни всё не так просто. После выхода на пенсию вы предполагаете оказаться в верхней или нижней точке налоговой шкалы? Намерены ли вы полностью обнулить свой банковский депозит? Как думаете, правительство изменит налоговую политику при снятии денег со счётов к тому времени, когда вы соберётесь их взять, или нет? Но хватит об этом. И не поймите меня неправильно, это всё важно и для меня, но здесь я пытаюсь сосредоточиться на более простых математических задачах и просто хочу показать, что коммутативный закон имеет отношение к анализу таких решений.
Об этом ведутся горячие споры на различных финансовых сайтах в интернете. Но даже после того как была показана актуальность коммутативных законов, некоторые блогеры с этим не согласились. Что, по большому счёту, противоречит здравому смыслу.
Возможно, мы запрограммированы не доверять коммутативному закону, потому что в повседневной жизни, как правило, имеет значение то, что мы делаем в первую очередь. Нельзя одновременно брать кусок пирога и есть его. И снимать ботинки и носки тоже нужно в правильной последовательности.
Физик Мюррей Гелл-Манн как-то в ходе тревожных размышлений о своём будущем тоже пришёл к аналогичному выводу. Закончив Йельский университет, он отчаянно хотел остаться в Лиге плюща[15]. К сожалению, в Принстон его не приняли. В Гарвард взяли, но без финансовой помощи он протянул бы ноги. Лучшим из возможных вариантов оказался Массачусетский технологический институт (но он не входил в Лигу плюща). В глазах амбициозного Гелл-Манна это учебное заведение было не очень престижным. Тем не менее он принял предложение. Много лет спустя он признался, что в тот момент подумывал о самоубийстве, но решил этого не делать, как только понял, что посещение Массачусетского технологического института и самоубийство нельзя переставить (поменять местами)[16]. Он мог бы пойти учиться в Массачусетский технологический институт, а потом убить себя, но не наоборот.
Гелл-Манна, вероятно, впечатлила важность принципа коммутативности. Но в квантовой физике он бы обнаружил, что на самом глубинном уровне природа не подчиняется коммутативному закону. И это тоже хорошо, поскольку благодаря нарушению коммутативного закона мир таков, каков он есть. Именно поэтому материя является твёрдой и атомы не разрушаются.
Ещё на заре появления квантовой механики[17] Вернер Гейзенберг и Поль Дирак обнаружили, что в природе p∙q≠q∙p, где p и q — импульс и координата квантовой частицы. Без этого нарушения коммутативного закона не было бы принципа неопределённости Гейзенберга, атомы бы взорвались и ничего не существовало бы.
Вот почему вам лучше позаботиться о своих p и q. И наказать делать это своим детям.
5. Деление и его проблемы
Через всё повествование о числовых основах математики красной нитью проходит одна идея. Речь идёт о создании (или поиске) всё более универсальных чисел.
Нам достаточно натуральных чисел 1, 2, 3 и т. д., если нужно что-то сосчитать, сложить или перемножить. Но как только мы переходим к вычитанию, мы вынуждены создать новый вид числа — ноль, а также отрицательные числа. Эта расширенная вселенная чисел, называемых целыми, так же замкнута, как и натуральные числа, но она более мощная, поскольку охватывает ещё и результаты операции вычитания[18].
Новый кризис наступает при попытке выполнить математическую операцию деления. Деление целого числа без остатка не всегда возможно… если мы не расширим вселенную чисел ещё раз, своевременно изобретя дроби. Дроби — это отношение целых чисел, следовательно, их математическое название — рациональные числа. К сожалению, это то место, где многие студенты бьются головой о математическую стенку.
Есть много непонятных вещей, связанных с делением и его последствиями, но, пожалуй, больше всего выводит из себя существование множества различных способов, чтобы описать часть целого.
Разрезав торт, прослоённый шоколадом, ровно посередине на две равные части, вы, скорее всего, скажете, что каждая часть равна половине торта. Или можете выразить ту же идею дробью 1/2, что означает «1 из 2 равных частей». (Косая черта между 1 и 2 визуально напоминает, что что-то разрезали.) Третий способ выражения — сказать, что каждая часть составляет 50 % от целого, что буквально означает «50 частей из 100». Всего этого было бы уже достаточно, но есть ещё один вариант — представить идею в десятичной системе счисления и описать каждую часть как 0,5 от всего торта.
Такое обилие выбора, возможно, отчасти становится причиной недоумения, которое многие из нас испытывают, сталкиваясь с дробями, процентами и десятичными дробями. Ярким примером этому служит фильм «Моя левая нога» (My Left Foot), подлинная история мужественного ирландского писателя, художника и поэта Кристи Брауна. Он родился в большой рабочей семье и страдал от церебрального паралича, не мог говорить и контролировать свои конечности, кроме левой ноги. В детстве его часто называли умственно отсталым, особенно отец, который злился на сына и жестоко с ним обращался.
13
В примере с джинсами порядок применения налогового сбора и скидки для вас не имеет значения — в обоих сценариях вы в конечном итоге платите 43,20 доллара. Но для правительства и магазина он весьма существенен! В сценарии продавщицы (при котором вы платите налог в зависимости от первоначальной цены) вы заплатите 4 доллара налога, в вашем сценарии — всего 3,20 доллара. Я не знаю, одинаков ли закон о налоге на продажи во всех штатах, но рациональнее всего взимать его на основе фактической цены в магазине. Дальнейшее обсуждение этих вопросов см. http://www.facebook.com/TeachersofMathematics/posts/166897663338316
14
Обсуждение достоинств и недостатков закона Roth 401(k) см. публикации Commutative law of multiplication (http://thefinancebuff.com/commutative-law-of-multiplication.html) и The new Roth 401(k) versus the traditional 401(k): Which is the better route? (http://www.thesimpledollar.com/2007/06/20/the-new-roth-401k-versus-the-traditional-401k-which-is-the-better-route/).
15
Лига плюща — группа самых престижных частных колледжей и университетов на северо-востоке США, которые славятся высоким уровнем обучения и научных исследований. Название связано с тем, что по английской традиции стены университетов — членов Лиги увиты плющом. Прим. ред.
16
Эта история о Мюррее Гелл-Манне рассказывается в G. Johnson, Strange Beauty (Knopf, 1999), p. 55. По словам самого Гелл-Манна, хотя его приняли в «страшный» Массачусетский технологический институт, он «рассматривал самоубийство как единственный выход из положения, если пролетаешь мимо Лиги плюща». «Мне пришло в голову (и это интересный пример некоммутирующих операторов), что можно попробовать учёбу в Массачусетском технологическом институте и убить себя позже, в то время как обратный порядок событий невозможен». Этот отрывок приведён в H. Fritzsch, Murray Gell-Ma
17
Рассказ о том, как Гейзенберг и Дирак открыли роль некоммутирующих переменных в квантовой механике, см. G. Farmelo, The Strangest Man (Basic Books, 2009), pp. 85–87.
Прим. ред.: По истории квантовой механики см., например: Пономарёв Л. И. Под знаком кванта. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005; Милантьев В. П. История возникновения квантовой механики и развитие представлений об атоме. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.
18
Математики говорят, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения, то есть результаты этих операций, совершённые над натуральными числами, тоже будут натуральными числами. Аналогично множество всех целых чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения. Прим. ред.