Страница 6 из 8
В ключевой сцене фильма семья сидит за столом. Одна из старших сестёр Кристи делает домашнее задание по математике, устроившись рядом с отцом. Кристи, как обычно, сидит в углу комнаты, вертясь на кресле. Его сестра нарушает тишину. «Что такое 25 % от четверти?» — спрашивает она. Отец обдумывает вопрос. «Двадцать пять процентов от четверти? Ух-х-х… Дурацкий вопрос, а? В смысле 25 % — это и есть четверть. Вы не можете иметь четверть четверти». Сестра отвечает: «Можем. Кристи, разве у тебя не так?» Отец хмыкает: «Ха! Да что он знает?!»
Действительно, удел Кристи — пытаться захватить кусочек мела пальцами левой ноги. Прижав мел к грифельной доске, которая лежит на полу, мальчик сумел нацарапать каракуль, похожий на цифру 1, затем косую черту и ещё что-то непонятное. Это число 16, но задом наперёд. Расстроенный, он стирает пяткой 6 и пробует снова, но на этот раз мел движется слишком далеко, пересекая 6 и превращая её во что-то невразумительное. «Это просто какие-то нервные загогулины», — ехидничает отец, отворачиваясь. Кристи закрывает глаза и откидывается, совершенно обессиленный[19].
Кроме мощного драматического воздействия, эта сцена поражает принципиальной жёсткостью отца. Непонятно, почему он так убеждён, что нельзя иметь четверть четверти? Может быть, он думает, что четверть можно взять только от целого или от чего-то, состоящего из четырёх равных частей. Но он не в состоянии понять, что всё делится на четыре равные части. В случае если объект уже является четвертью чего-то, его четыре равные части будут выглядеть следующим образом:
Так как эти 16 тонких ломтиков составят целый объект, каждый ломтик, то есть 1/16 от целого, и является ответом, который Кристи пытался нацарапать.
Другой случай такой же психической жёсткости, но в современном мире цифровых технологий, обошёл несколько лет назад весь интернет. Обиженный клиент по имени Джордж Ваккаро записал и разместил в сети свой телефонный разговор с двумя сотрудниками компании Verizon Wireless. Ваккаро жаловался на то, что ему обещали взимать плату за использование данных в размере 0,002 цента за килобайт, но в полученном счёте он обнаружил, что с него взяли по тарифу 0,002 доллара за килобайт (в 100 раз больше). Последовавшая за этим беседа возглавила рейтинг лучших пятидесяти комедийных роликов в YouTube[20].
Вот разговор, который происходит примерно в середине записи между Ваккаро и Андреа, дежурным менеджером компании Verizon Wireless:
В. Признаёте ли вы, что есть разница между одним долларом и одним центом?
А. Определённо.
В. Вы согласны, что между половиной доллара и половиной цента тоже есть разница?
А. Конечно.
В. Тогда вы наверняка признаете и существование разницы между 0,002 доллара и 0,002 цента?
А. Нет
В. Нет?
А. Я имею в виду, есть разница… но нет 0,002 доллара.
Несколько мгновений спустя Андреа говорит: «Очевидно, что доллар можно представить как „одну десятую и ноль, ноль“, правильно? Но, чтобы „ноль, запятая, ноль, ноль и два“, так?.. Я никогда не слышал о 0,002 доллара. Это просто неполный цент».
Неумение преобразовывать доллары в центы — это только часть проблемы Андреа. Основная его беда в том, что он не способен представить себе их части.
Из личного опыта могу сказать, что так происходит из-за заблуждений в отношении десятичных дробей. В восьмом классе мисс Стэнтон начала учить нас преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные. При делении в столбик мы обнаружили, что некоторые дроби могут быть представлены в виде десятичных, оканчивающихся нулями. Например, ¼=0,2500… её можно переписать как 0,25, поскольку все нули справа не имеют значения. Другие дроби при преобразовании дают десятичные дроби с повторяющимися в конце цифрами, как, например (цифра 3 в периоде),
5/6 = 0,8333…
Моей любимой была дробь 1/7; в ней при преобразовании в десятичную дробь повторялись каждые шесть цифр (шесть цифр в периоде):
1/7 = 0,142857142857…
Недоумение возникло, когда мисс Стэнтон сказала, что если умножить на 3 обе части простого равенства
⅓=0,3333…,
то 1 должна равняться 0,9999…
Я возразил, что это неверно. Неважно, сколько девяток написала бы она, я мог бы поставить столько же нулей после 1,0000… а затем, если вычесть её число из моего, всегда оставалась бы какая-нибудь маленькая разность вроде 0,0000…01[21].
Так же как отец Кристи и представитель Verizon, я не мог принять то, что мне только что доказали. Я видел, что это правильный логичный вывод, но отказывался его принимать. (Это может напомнить вам кое-кого из ваших знакомых.)
Насколько бурно человек реагирует в подобной ситуации, зависит от его нервной системы. Но вернёмся снова в класс мисс Стэнтон. И всё-таки, почему же мы считали десятичными только периодические десятичные дроби? Легко составить подходящий пример. Вот он:
0,12122122212222…
Последовательность подобрана так, чтобы ряд двоек в каждом периоде по мере продвижения вправо был длиннее. Такую дробь невозможно преобразовать в обыкновенную, то есть в отношение двух целых чисел. Можно доказать, что обыкновенные дроби всегда преобразуются в конечные или периодические десятичные дроби. А так как эта десятичная дробь не является ни периодической, ни конечной, то она не может быть равна отношению некоторых целых чисел. Поэтому данное число иррационально.
Учитывая, что показанное десятичное число подобрано специально, можно было бы предположить, что такие числа встречаются крайне редко. Но на самом деле подобное число типично. В определённом смысле можно сказать, что почти все десятичные числа — это иррациональные числа[22]. А повторяющиеся цифры в их записи можно рассматривать как статистически случайные.
Как только вы принимаете эти удивительные факты, всё приходит в хаос и беспорядок. Целые числа и обыкновенные дроби, столь любимые и знакомые, становятся редкими и экзотичными. Вы, конечно, когда-нибудь и где-нибудь видели безобидную числовую ось. Но никто и никогда не говорил вам, что хаос скрывается именно там!
6. Твёрдая позиция
Я проходил мимо статуи Эзры Корнелла[23] сотни раз, даже не взглянув на покрытую зелёной патиной фигуру, но однажды остановился, чтобы лучше рассмотреть её[24].
Эзра выходит на улицу, исполненный гордого достоинства, в длинном пальто, жилете и сапогах. В правой руке он держит помятую широкополую шляпу и опирается на трость. Памятник производит впечатление непритязательности и обезоруживающей прямоты, какой, судя по всему, отличался в жизни и сам увековеченный в бронзе человек.
И именно поэтому так диссонируют с общим обликом памятника даты жизни Эзры. Они высечены на постаменте напыщенными римскими цифрами:
EZRA CORNELL
MDCCCVII — MDCCCLXXIV
Почему бы просто не написать 1807–1874? Римские цифры выглядят впечатляюще, но они трудно читаются и громоздки. У Эзры не хватило бы терпения прочесть их.
Найти хороший способ представления чисел всегда было сложно. Уже на заре цивилизации люди пробовали различные системы записи чисел[25] и проводили с их помощью подсчёты, будь то в торговле, измерении земельных наделов или пересчёте скота в стаде.
Что объединяет почти все эти системы, так это то, что в них глубоко укоренились особенности анатомического строения человека. Из-за капризов эволюции у нас по пять пальцев на каждой руке. Этот анатомический факт отражается в примитивной системе подсчёта, например число 17 записывается в виде:
19
Сцену, где молодой Кристи пытается мужественно ответить на вопрос «Сколько будет 25 процентов от четверти?» можно найти на сайте http://www.tcm.com/mediaroom/video/223343/My-Left-Foot-Movie-Clip-25-Percent-of-a-Quarter.html
20
В блоге Джорджа Ваккаро (http://verizonmath.blogspot.com/) можно узнать подробности его встречи с представителями Verizon Wireless. Стенограмма разговора доступна на http://verizonmath.blogspot.com/2006/12/transcription-jt.html
Аудиозапись — на http://imgs.xkcd.com/verizon_billing.mp3
21
Для читателей, которым всё ещё трудно принять, что 1 = 0,9999…, аргументом (убедившим в конце концов и меня) может быть такое рассуждение: они должны быть равны, потому что между ними нельзя вставить никакого другого десятичного числа. (В то же время, если два десятичных числа не равны, то между ними можно вставить их среднее, а также бесконечно много других десятичных чисел.)
22
Удивительные свойства иррациональных чисел обсуждаются на более высоком математическом уровне на странице Irrational Number по адресу http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html
Взгляд, согласно которому цифры в иррациональном числе рассматриваются как случайные, представлен на http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html
23
Эзра Корнелл (англ. Ezra Cornell; 1807–1874) — американский бизнесмен, изобретатель, филантроп. Вместе с Эндрю Уайтом основал Корнелльский университет. Знаменит также тем, что был в числе учредителей и фактических руководителей всемирно известной компании Western Union, построившей первый трансконтинентальный телеграф в Соединённых Штатах. Прим. ред.
24
Более подробную информацию о Корнелле, в том числе о его роли в Western Union, см. P. Dorf, The Builder: A Biography of Ezra Cornell (Macmillan, 1952); W. P. Marshall, Ezra Cornell (Kessinger Publishing, 2006); и http://rmc.library.cornell.edu/ezra/index.html, онлайн-выставку в честь 200-летнего юбилея Корнелла.
25
Древние системы счисления и происхождение десятичной системы обсуждаются в V. J. Katz, A History of Mathematics, 2nd edition (Addison Wesley Longman, 1998) и в C. B. Boyer and U. C. Merzbach, A History of Mathematics, 3rd edition (Wiley, 2011). О развитии систем счёта см. C. Seife, Zero (Viking, 2000), chapter 1.
Прим. ред.: Из огромной литературы по истории математики на русском языке выделим только следующие издания, которые признаны как наиболее фундаментальные в этом разделе математики: Варден, дер. В. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Наука, 1959; Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: Наука, 1967; Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: КомКнига, 2007; История математики. В 3-х томах / Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1970–1972. Том I. С древнейших времён до начала Нового времени (1970).