Страница 8 из 8
В качестве плотника, превратившегося в предпринимателя, Корнелл начал работать у Сэмюэля Морзе, чьё имя живёт в коде точек и тире, благодаря чему английский язык сократился до щелчков телеграфного ключа. Эти два события стали технологическими предшественниками сегодняшних нулей и единиц.
Морзе поручил Корнеллу построить первую правительственную телеграфную линию от Балтимора до Капитолия в Вашингтоне. Он, по-видимому, с самого начала предчувствовал, что принесут ему точки и тире. Когда 24 мая 1844 года линия была официально открыта, Морзе отправил по ней первое сообщение: «Чудны дела Твои, Господи!»
Часть II. Соотношения
7. Получая радость от X
Итак, пора переходить от арифметики начальной школы к математике средних классов. На протяжении следующих десяти глав мы будем повторять алгебру, геометрию и тригонометрию. Не волнуйтесь, если вы их забыли, — на этот раз не будет никаких экзаменов. Вместо того чтобы беспокоиться о формальной стороне изучения алгебры и геометрии, позволим себе сосредоточиться на самых красивых, важных и далеко идущих идеях этих разделов математики. Например, алгебра может поразить вас головокружительным сочетанием символов, определений и методов, но, в конце концов, всё это сведётся лишь к двум вещам: нахождению решений x и работе с уравнениями.
Первое похоже на работу детектива. Вы ищете неизвестное число x, при этом вам даётся несколько подсказок либо в виде уравнения наподобие 2∙x+3=7, либо, что менее удобно, в виде запутанного словесного портрета x, то есть словесного описания задачи. В любом случае ваша цель — найти на основании полученных данных значение x.
Напротив, работа с уравнениями представляет собой смесь искусства и науки. Вместо того чтобы остановиться на конкретном значении x, вы подтасовываете и уплотняете соотношения, которые по-прежнему содержат изменяющиеся числа; они называются переменными и как раз и являются тем, что действительно отличает алгебру от арифметики. А уравнения, если можно так выразиться, — просто изящные модели самих чисел. Именно в них алгебра сродни искусству. Можно также сказать, что формулы выражают соотношения между числами в реальном мире, как это происходит в законах движения свободно падающих тел и характеристиках планетарных орбит либо у частот генотипов в популяции. Вот здесь алгебра сродни науке.
Такое определение двух основных функций алгебры не считается общепринятым (оно придумано мной и, как мне кажется, довольно правдиво). В следующей главе я больше расскажу о поиске решений x, а пока, чтобы пояснить мою мысль, сосредоточимся на уравнениях и формулах. Начнём с пары простых примеров.
Несколько лет назад моя дочь Джо поняла зависимость между числами, выражающими её возраст и возраст её старшей сестры Лии[30]. Она мне сказала: «Папа, смотри, всегда есть число между моим возрастом и возрастом Лии. Вот сейчас мне шесть лет, а Лии восемь, а семь находится посередине. И даже когда мы станем старше — мне исполнится двадцать, а ей двадцать два года, — посередине по-прежнему будет число!»
Рассуждения Джо — пример алгебраического подхода (хотя никто, кроме гордого отца, возможно, этого и не видит). Она подметила соотношение между двумя постоянно меняющимися переменными: своим возрастом, x, и возрастом Лии — y. Лия всегда будет на два года старше сестры: y=x+2.
На языке алгебры такие задачи формулировать естественнее всего. Но потребуется небольшая практика, чтобы хорошо разобраться в этой науке, потому что существуют, как говорят французы, faux amis, то есть ложные друзья: пары слов, звучащие похоже и вроде бы означающие одно и то же, но на самом деле имеющие совершенно различные значения.
Предположим, что длина коридора равна y, если её измерять в ярдах, и f, если мы её измерим в футах. Составьте уравнение, описывающее отношение между y и f.
Мой друг Грант Виггинс, эксперт по вопросам образования, уже много лет предлагает такое задание студентам и университетским преподавателям. Основываясь на своём опыте, он утверждает, что студенты более чем в половине случаев выполняют его неправильно, даже если совсем недавно прошли и успешно сдали курс алгебры.
Если вы тоже думаете, что ответ — y=3∙f, добро пожаловать в клуб неудачников.
Эта формула похожа на «дословный перевод» утверждения «Один ярд равняется трём футам» на язык алгебры. Но как только вы попробуете подставить в уравнение несколько чисел, то сразу увидите, что в нём всё перевёрнуто с ног на голову. Скажем, коридор имеет длину 10 ярдов, то есть 30 футов. Тогда при y=10 ярдам, понятно, что f=30 футам, и тождество становится неверным.
Верное уравнение: f=3∙y. И здесь 3 действительно означает, что в одном ярде 3 фута (то есть имеет размерность фут/ярд). Когда вы умножите 3 на переменную y в ярдах, то ярды в уравнении сократятся, и у вас останутся, как и должно быть, футы.
Проверка правильности формулы с помощью сокращения единиц измерения помогает избежать грубой ошибки такого типа. Например, она могла бы спасти сотрудников отдела обслуживания клиентов компании Verizon (см. пример в главе 5) от путаницы между долларами и центами.
Ещё один вид формул называется тождеством. Когда на уроках алгебры вы раскладывали на множители или перемножали многочлены, вы работали с тождествами. Можете использовать их и теперь, чтобы произвести впечатление на друзей дешёвыми трюками с числами. Вот один, который поразил физика Ричарда Фейнмана[31], хотя он сам неплохо считал устно.
Работая в Лос-Аламосе[32], я убедился, что Ганс Бете[33] превосходно считает. Как-то раз мы подставляли числа в формулу и добрались до квадрата 48, я уже было потянулся за калькулятором, и тут Ганс сказал:
— Это будет равняться 2300.
Я стал нажимать кнопки, а он продолжил:
— Если вам нужен точный ответ, то 2304.
Калькулятор тоже выдал 2304.
— Ну и дела! Это впечатляет! — воскликнул я.
— Разве вы не знаете, как возвести в квадрат числа, не превышающие 50? — удивился он. — Возводите в квадрат 50 — равно 2500 — и вычитаете 100 раз разность между 50 и вашим числом (в данном случае это 2), так у вас выйдет 2300. Если хотите иметь точное значение, то к этому числу прибавьте квадрат разности. Выйдет 2304.
Трюк Бете основан на тождестве (50+х)2=2500+100∙x+x2. Он запомнил его и применил при x=−2, так как 48=50−2. Для интуитивного доказательства этой формулы представьте себе квадратный кусочек ковра со стороной 50+x.
Его площадь, равная (50+x) в квадрате, и есть наше искомое. Однако на диаграмме видно, что эта область состоит из квадрата 50∙50 (в формуле это равно 2500), двух прямоугольников размером 50, умноженное на x, (площадь каждого по 50∙x; всего 100∙x), и, наконец, x, умноженное на x, что равно площади x в квадрате.
Такие тождества полезны не только для физиков-теоретиков. Ещё одно тождество, подобное тождеству Бете, имеет отношение к любому, кто вкладывает деньги в фондовый рынок[34]. Предположим, ваши акции катастрофически упали на 50 % в одном году, а затем, в следующем, поднялись на 50 %. Даже при такой высокой прибыли их стоимость уменьшилась на 25 %. Чтобы в этом убедиться, обратите внимание на то, что при подсчёте 50 % потерь вы умножаете свои деньги на 0,50, а при вычислении 50 % прибыли — на 1,50. Если производить эти вычисления одно за другим, то ваши деньги нужно умножить на 0,50 и на 1,50, что составляет 0,75. Другими словами, 25 % потерь.
30
Для зануд: Лия действительно на 21 месяц старше Джо.
31
Ричард Фейнман (1918–1988) — выдающийся американский учёный, основные открытия сделал в области теоретической физики. Один из создателей квантовой электродинамики. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев.
32
Фейнман рассказывает об остроумном методе Бете возведения в квадрат чисел до 50 в книге R. P. Feynman, Surely, You’re Joking, Mr. Feynman! стр. 193 (W. Norton and Company, 1985).
Прим. ред.: Фейнман Р. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! М.: Колибри, 2008.
33
Ганс Бете (1906–2005) — американский астрофизик, лауреат Нобелевской премии по физике. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев.
34
Получение одинаковых результатов при повышении и понижении стоимости акций на одинаковый процент при колебании цен на фондовом рынке можно доказать математически с помощью умножения 1+x на 1−x или геометрически, нарисовав схему, аналогичную используемой Бете для объяснения своего метода. Если у вас есть настроение, в качестве упражнения попробуйте оба подхода.
Конец ознакомительного фрагмента. Полная версия книги есть на сайте ЛитРес.