Страница 13 из 24
Таким образом, очевидно, что за исключением общеутвердительных все остальные (суждения) могут быть доказаны по первой фигуре посредством приведения к невозможному. Но по средней и последней фигурам и (общеутвердительные суждения) доказуемы. В самом деле, предположим, что А присуще не всем Б, и примем, что А присуще всем В. Итак, если А присуще не всем Б и присуще всем В, то В присуще не всем Б. Но это невозможно, ибо пусть будет очевидным, что В присуще всем Б, так что (наше) предположение ложно, и истинным, таким образом, будет, что (А) присуще всем (Б) [1]. Если же предположить противное, то силлогизм получится, и будет доказано невозможное, однако (первоначально) принятое останется недоказанным. В самом деле, если А не присуще ни одному Б, но присуще всем В, то В не будет присуще ни одному Б. Но это невозможно, так что ложным будет, что (А) не присуще ни одному (Б). Но если это ложно, то еще не истинно, что оно присуще всем (Б) [2]. Когда же А присуще некоторым Б, предположим, что А не присуще ни одному Б, но присуще всем В. Следовательно, В необходимо не присуще ни одному Б. Так что, если это невозможно, то А необходимо присуще некоторым Б [3]. Если же предположить, что (А) некоторым (Б) не присуще, то получится то же самое, что и по первой фигуре [4]. Далее, предположим, что А присуще некоторым Б [5], но не присуще ни одному В. Тогда В необходимо не присуще некоторым Б. Но оно было присуще всем (Б), так что (наше) предположение ложно. Следовательно, А не будет присуще ни одному Б [6]. Когда же А присуще не всем Б, предположим, что оно присуще всем (Б), но не присуще ни одному В. Тогда В необходимо не присуще ни одному Б. Но это невозможно, так что истинным будет, что (А) присуще не всем (Б) [7]. Таким образом, очевидно, что по средней фигуре могут быть построены все силлогизмы (через приведение к невозможному).
[1] Пусть утверждением, подлежащим доказательству посредством приведения к невозможному, будет: «каждый человек (Б) смертен (А)». Доказательство:
Каждое живое существо (В) смертно (А). Некоторые люди (Б) не смертны (А) (противоположно доказываемому). Некоторые люди (Б) не суть живые существа (В).
[2] Каждое живое существо (В) смертно (А). Ни один человек (Б) не смертен (А) (противно доказываемому). Ни один человек (Б) не есть живое существо (В).
Из ложности общеотрицательного суждения не следует истинности общеутвердительного суждения (хотя в нашем примере оно истинно).
[3] Каждый лебедь (В) бел (А). Ни одно живое существо (Б) не бело (А) (противоположно доказываемому). Ни одно живое существо (Б) не есть лебедь (В).
[4] Каждое живое существо (В) движется (А). Некоторые люди (Б) не движутся (А). Некоторые люди (Б) не суть живые существа (В).
Из ложности заключения следует ложность меньшей посылки. Но из ложности частноотрицательного суждения следует истинность и частноутвердительного и общеутвердительного суждений.
[5] Доказывается общеотрицательное суждение.
[6] Ничто конечное (В) не находится повсеместно (А). Некоторые тела (Б) находятся повсеместно (А) (противоположно доказываемому). Некоторые тела (Б) не конечны (В).
[7] Ни один человек (В) не есть четвероногое существо (А) Каждое живое существо (Б) есть четвероногое существо (А) (противоположно доказываемому). Ни одно живое существо (Б) не есть человек (В).
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
(Доказательство посредством приведения к невозможному по третьей фигуре)
Подобным же образом (ведется доказательство посредством приведения к невозможному) и по последней фигуре. В самом деле, примем, что А не присуще некоторым Б [1], а В присуще всем (Б); тогда А некоторым В не будет присуще. Если же это невозможно, то ложно, что (А) некоторым (Б) не присуще, и, следовательно, истинно, что (А) присуще всем (Б) [2]. Но если предположить, что (А) не присуще ни одному (Б), то силлогизм получится и будет доказано невозможное, но (первоначально) принятое останется недоказанным, ибо если предположить противное, то получается то же самое, что и раньше [3]. Для того же, чтобы (доказать), что (А) присуще некоторым (Б), для этого нужно принять то же предположение. В самом деле, если А не присуще ни одному Б, а В присуще некоторым Б, то А будет присуще не всем В. Если же это ложно, то истинно, что А присуще некоторым Б [4]. Когда же А не присуще ни одному Б, предположим, что оно некоторым (Б) присуще, и примем, что В присуще всем Б. Тогда А необходимо присуще некоторым В, но (в действительности) оно не присуще ни одному (В), так что ложно, что А присуще некоторым Б [5]. Если же предположить, что А присуще всем Б, то (первоначально) принятое остается недоказанным [6]. Но для того чтобы доказать, что (А) присуще не всем (Б), для этого нужно принять то же предположение. Действительно, если А присуще всем Б, а В - некоторым Б, то А присуще некоторым В. Но (в действительности) этого не было. Так что ложно, что (А) присуще всем (Б). Но если это так, то истинно, что (А) присуще не всем (Б) [7]. И если предположить, что (А) присуще некоторым (Б), то получится то же самое, что и в указанных раньше (случаях) [8].
Таким образом, очевидно, что во всех силлогизмах, получаемых посредством приведения к невозможному, следует брать предположением противоположное. И далее ясно также, что по средней фигуре некоторым образом [9] можно доказывать утвердительное, а но последней - общее (суждение).
[1] Доказывается общеутвердительное суждение.
[2] Некоторые люди (Б) не суть живые существа (А) (противоположно доказываемому). Каждый человек (Б) есть двуногое существо (В). Некоторые двуногие существа (В) не суть живые существа (А).
[3] Ни один человек (Б) не есть живое существо (А) (противно доказываемому). Каждый человек (Б) есть двуногое существо (В). Некоторые двуногие существа (В) не суть живые существа (А).
Из ложности общеотрицательной большей посылки не следует истинности общеутвердительного суждения (следует истинность только частноутвердительного суждения).
[4] Ни одно живое существо (Б) не есть человек (А) (противоположно доказываемому). Некоторые живые существа (Б) суть разумные существа (В). Некоторые разумные существа (В) не суть люди (А).
[5] Некоторые тела (Б) находятся повсеместно (А) (противоположно доказываемому). Всякое тело (Б) конечно (В). Нечто конечное (В) находится повсеместно (А).
[6] Всякое тело (Б) находится повсеместно (А) (противно доказываемому). Всякое тело (Б) конечно (В). Нечто конечное (В) находится повсеместно (А).
Положение, что ни одно тело не находится повсеместно, этим силлогизмом не доказано (из ложности общеутвердительного суждения не следует истинности общеотрицательного суждения).
[7] Каждое живое существо (Б) неразумно (А) (противоположно доказываемому). Некоторые живые существа (Б) суть люди (В). Некоторые люди (В) неразумны (А).
[8] Если сделать предположение, подпротивное доказываемому, то из ложности частноутвердительного суждения следует истинность и частно- и общеотрицательного суждения.
[9] Посредством приведения к невозможному.
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
(Различие между доказательством посредством приведения к невозможному и прямым доказательством)