Страница 18 из 82
Ввиду особой важности представления о разбросе по импульсу и о связанном с ним разбросе по координате давайте еще раз рассмотрим смысл разброса. Все это связано с экспериментами. В отдельном эксперименте по измерению импульса частицы может быть получено лишь одно значение. У вас есть некоторый инструмент. Он выдает одно число. Он не может сообщить, что импульс равен одновременно 10 и 50. Каким же образом мы получаем одно значение, если наш пакет обладает распределением импульсов?
Волновой пакет состоит из суперпозиции собственных значений импульса, то есть импульсных волн амплитуды вероятности, однозначно связанных со значениями импульса. Когда выполняется измерение, сопутствующее ему непренебрежимое возмущение заставляет систему «перепрыгнуть» из состояния суперпозиции в определенное собственное состояние. Измерение дает значение импульса, которое соответствует данному собственному состоянию. Обратите внимание на то, что измерение меняет систему. Чтобы выполнить еще одно измерение, нужно начать сначала и подготовить частицу тем же способом, что и в первый раз. При повторении процедуры подготовления волнового пакета он будет состоять из той же суперпозиции собственных значений импульса. Теперь выполним то же самое измерение, что и в первый раз. В общем случае мы получим другое значение импульса, поскольку волновой пакет состоит из множества импульсных волн, с каждой из которых связано свое наблюдаемое значение импульса.
Выполнив огромное число измерений, мы можем получить значение 400 (единицы в данном случае не важны) тысячу раз, значение 390 — восемьсот раз, 410 — восемьсот раз, но 200 и 600 — только по двадцать раз. Если по всем этим числам построить график, получится распределение вероятности, подобное тем, что показаны для импульса в левой части рис. 6.7. Такое распределение вероятности — это результат экспериментального определения состава волнового пакета. Теперь мы знаем, какова величина (вероятность) каждой волны в пакете. Такое же описание применимо и к положению нашего волнового пакета. Каждое измерение положения волновых пакетов, подготовленных идентичным образом, дает одно положение зарегистрированной частицы. После множества измерений получается распределение по координате, подобное тем, что представлены в правой части рис. 6.7.
Принцип неопределенности Гейзенберга
Чрезвычайно важной является связь между разбросом по импульсу и разбросом по координате, играющая фундаментальную роль в описании частиц в состоянии суперпозиции. Когда разброс по импульсу (∆p) велик, вдоль оси x распределено множество волн (см. рис. 6.1), которые вместе образуют волновой пакет. Эти волны имеют различную длину (см. рис. 6.2). Когда интерферирует множество волн в широком диапазоне длин, область конструктивной интерференции очень быстро заканчивается с удалением от места, где она максимальна (см. рис. 6.3 и 6.4). Это означает, что разброс по координате (∆x) мал. Если же волновой пакет состоит лишь из небольшого спектра импульсных волн (значение ∆p мало), область конструктивной интерференции тянется в пространстве гораздо дальше от точки максимума пространственного распределения (см. рис. 6.7). Соответственно величина разброса, или неопределенности положения (∆x), оказывается большой. Все это происходит в силу того, что волновые функции, которые описывают собственные значения импульсов, являются по своей природе волнами амплитуды вероятности. Местоположением волнового пакета можно в каком-то смысле считать область конструктивной интерференции, а в областях существенной деструктивной интерференции вероятность обнаружить частицу очень мала.
Формальное соотношение между разбросом по импульсу и разбросом по координате, то есть между ∆p и ∆x, называется принципом неопределенности Гейзенберга. Вернер Карл Гейзенберг (1901–1976) получил Нобелевскую премию по физике в 1932 году «за создание квантовой механики, приложения которой, в числе прочего, привели к открытию аллотропных форм водорода». Принцип неопределенности Гейзенберга выражается простым математическим соотношением: ∆x∆p ≥ h/4, где h — постоянная Планка, а ∆x и ∆p задают ширину распределений координаты и импульса, как показано на рис. 6.7. (Символ ≥ означает «больше или равно».) Какой будет знак — «равно» (=) или «больше» (>), — зависит от формы распределений вероятности. Знак «равно» соответствует гауссовой кривой, названной так в честь великого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855). Кривые, изображенные на рис. 6.5—6.7, представляют собой гауссовы кривые. Это стандартные «колоколообразные кривые», которые описывают такие распределения, как, например, число баллов, полученных на экзамене, при правильно подготовленном тесте и достаточном числе людей, которые его сдают. Кривые Гаусса часто встречаются в физике. Знак «больше» применим при других формах распределения. Для любой формы кривой, построенной по конкретному распределению волн, можно определить, каким будет произведение ∆x∆p, но оно всегда >h/4, если только кривая не является гауссовой.
Для понимания природы принципа неопределенности важно рассмотреть случай гауссовых кривых, подобных тем, что изображены на рис. 6.7. В этом случае ∆x∆p = h/4. Данное уравнение показывает, какая информация может быть одновременно известна о положении и импульсе частицы. Величина h/4 является константой. Таким образом, произведение ∆x∆p равно константе. Следовательно, если неопределенность импульса ∆p велика, то неопределенность положения ∆x должна быть мала, чтобы их произведение составляло h/4. С другой стороны, если значение ∆p мало, то значение ∆x — велико.
Связь между ∆p и ∆x проиллюстрирована на рис. 6.7. Принцип неопределенности гласит, что вы можете знать кое-что об импульсе частицы и кое-что о ее положении, но вы не можете точно знать и положение, и импульс частицы в одно и то же время. Эта неопределенность — невозможность одновременно знать и положение, и импульс частицы — резко контрастирует с классической механикой. Для классической теории совершенно принципиально то, что, как показано на рис. 2.5, положение и импульс частицы могут быть точно известны (измерены) одновременно. Квантовая теория утверждает, что невозможно одновременно точно знать положение и импульс. Они могут быть известны лишь с некоторыми неопределенностями — ∆x и ∆p.
Анализируя соотношение для принципа неопределенности ∆x∆p = h/4, рассмотрим, что случится, если делать ∆p все меньше и меньше. Разделив обе части уравнения на ∆p, получаем:
.
Поскольку ∆p уменьшается, делитель становится все меньше и меньше, а значит, ∆x возрастает. В пределе, когда ∆p устремляется к нулю, ∆x стремится к бесконечности. Этот предел имеет глубокий смысл. Если ∆p обращается в нуль, импульс известен совершенно точно, но положение становится совершенно неопределенным. При ∆x = ∞ частицу можно с равной вероятностью обнаружить где угодно.
Этот результат согласуется с тем, что мы выяснили, обсуждая рис. 6.1, на котором показан вид волновой функции для собственных значений импульса. Когда частица находится в собственном состоянии импульса, значение ее импульса определено совершенно точно. Однако ее функция амплитуды вероятности, которая описывает вероятность обнаружить частицу в некоторой области пространства, размазана (делокализована) по всему пространству. Во всех точках вероятность обнаружить частицу одинакова: ∆x = ∞. Это контрастирует с волновыми пакетами, изображенными на рис. 6.7, где суперпозиция собственных состояний импульса порождает состояние, в котором больше нет идеально точно определенного импульса, но зато имеется некоторая информация о положении. Положение и импульс известны с точностью до их неопределенности.