Абсолютный минимум. Как квантовая теория объясняет наш мир

Можно преобразовать соотношение для неопределенностей следующим образом:

.

Отсюда видно, что в пределе, когда ∆x стремится к нулю (идеально точно определенное положение), ∆p стремится к бесконечности. Если нам совершенно точно известно положение, импульс может иметь любое значение. Волновой пакет, составленный из всех собственных значений импульса (∆p = ∞), имеет совершенно точно определенное положение. Можно точно узнать p, но лишь ничего не зная об x; можно точно узнать x, но лишь ничего не зная о p. Это называется дополнительностью. Можно узнать x или p, но не то и другое одновременно.

В классической механике можно знать x и p. В квантовой механике можно знать x или p. В общем случае для квантовых — абсолютно малых — частиц можно узнать кое-что о p и кое-что об x, но невозможно узнать точно то и другое одновременно.

******** Более известен в России как Луи де Бройль. — Примеч. пер.

7. Фотоны, электроны и бейсбольные мячи

И фотоны, и электроны, и бейсбольные мячи в равной мере опи­сываются квантовой теорией, но для описания последних эта ­теория не является необходимой. Мячи ведут себя как обычные частицы и в этом отношении с высокой точностью описываются классической механикой. Если и для фотонов, и для электронов, и для мячей подходит одинаковое квантовомеханическое опи­сание, почему только мячи ведут себя как классические частицы? Ответ заключается в том, что мячи являются большими в абсолютном смысле. В этой главе мы разберемся, почему фотонам и электронам требуется квантовое описание, а бейсбольным мячам — нет. Здесь обсуждаются реальные физические ситуации, в которых проявляется как волновая, так и корпускулярная природа квантовых, то есть имеющих малые в абсолютном смысле размеры, частиц.

Волны или частицы?

Когда частица находится в состоянии суперпозиции, то есть представляет собой волновой пакет, мы обладаем некоторой информацией о ее положении и некоторой информацией о ее импульсе. Так чем же являются фотоны, электроны и подобные им объекты — волнами или частицами? Ответ состоит в том, что они являются волновыми пакетами. Покажутся они вам частицами или волнами, зависит от выполняемого эксперимента, то есть от вопроса, который вы задаете.

Если предметом эксперимента является фотоэлектрический эффект, фотоны ведут себя как частицы. Один фотон толкает один электрон и выбивает его из металла (см. рис. 4.3). Фотон — это волновой пакет, порожденный набором импульсных собственных состояний. Набор с широким разбросом ∆p дает относительно хорошо определенное положение, то есть относительно небольшое значение ∆x. В этом случае фотонный волновой пакет имеет более или менее определенное положение и может вести себя как частица света в электрическом эффекте.

В интерференционном эксперименте (см. рис. 5.1) фотоны ведут себя как волны. Это не должно удивлять, поскольку волновой пакет фактически и является суперпозицией волн, но не волн в обычном классическом смысле, а волн амплитуды вероятности. Обсуждая явления интерференции, мы рассматривали фотонную волну как единую волну амплитуды вероятности. Теперь ясно, что в действительности это волновой пакет, представляющий собой суперпозицию волн. Попадая на расщепляющее пучок полупрозрачное зеркало, он становится суперпозицией двух трансляционных состояний: T1 и T2. Волны амплитуды вероятности состояния T1 интерферируют с соответствующими волнами состояния T2 и порождают интерференционную картину, которая обсуждалась выше.

Дифракция света

Итак, фотон ведет себя как частица в случае фотоэлектрического эффекта, но может также вести себя и как волна. Эксперимент, ясно демонстрирующий волновые свойства фотонов, — это ди­фракция света на дифракционной решетке. Дифракцию можно наблюдать с помощью музыкального компакт-диска (CD) на ярком свету, например солнечном. На поверхность CD нанесены очень тонкие канавки. Это дорожки, на которых хранится информация. Как объясняется далее, при падении на CD белого света от солнца или лампочки канавки вызывают его дифракцию, отчего каждый цвет отражается в своем направлении. Разные участки CD расположены под разными углами относительно вашего глаза, из-за чего они зрительно окрашиваются в разные цвета.

Дифракция на решетке используется в оптических инстру­ментах, называемых спектрометрами. Эти инструменты разделяют входящий в них свет на цвета, так что цвета можно анализировать по отдельности. Запись цветов, составляющих свет от конкретного источника, называется спектром. Например, звезды испускают свет различного цвета в зависимости от их темпе­ратуры. Получение спектра звездного света дает массу информации о звезде. На своем пути через космос звездный свет встречает различные молекулы. В главе 8 и далее рассказывается о том, что разные молекулы поглощают свет разных цветов. Поэтому по пути к Земле некоторые цвета звездного света частично поглощаются космическими молекулами. Астрономы устанавливают спектрометры на телескопах и снимают спектры, чтобы определить, какие молекулы находятся между Землей и конкретной звездой.

На рис. 7.1 показана геометрия дифракции света на решетке. Входящий свет падает на решетку под углом (греческая буква альфа) к нормали. Нормаль — это направление, перпендику­лярное поверхности. На рисунке мы смотрим на решетку сбоку. Поверхность решетки, которая глазу кажется плоским зеркалом, плотно покрыта идущими параллельно друг другу канавками. Эти канавки называют штрихами. На рис. 7.1 расстояние между штрихами обозначено буквой d. Это расстояние сравнимо с длиной волны света и составляет около одной десятимиллионной метра. Канавки обладают высокой отражательной способностью. Обычно они покрыты золотом или серебром. Если входящий свет состоит из набора цветов, то отраженный свет разделяется по цветам так, что свет каждого цвета следует в своем уникальном направлении. Это разделение света по цветам проиллюстрировано на рис. 7.1. На рисунке угол между нормалью к решетке и направлением конкретного — голубого — цвета обозначен (греческая буква бета). Для зеленого цвета угол будет больше, а для красного — еще больше.

Рис. 7.1. Геометрия дифракции света на решетке. Решетка представляет собой отражающую поверхность, обычно серебряную или золотую, покрытую очень тонкими параллельными канавками. Показан вид решетки сбоку. Сама она уходит за страницу. Все канавки находятся на строго постоянном расстоянии d друг от друга; — угол входящего света. Свет отражается под углом , зависящим от его цвета. В результате дифракции происходит разделение цветов

Рис. 7.2. Входящие фотонные волновые пакеты испытывают дифракцию на решетке. От канавок отражается свет различных цветов. Для каждого цвета существует направление, в котором волны соответствующего цвета интерферируют конструктивно. Они складываются, давая большую амплитуду волны, так что цвет выглядит очень ярким именно в этом направлении

Дифракция света демонстрирует волновую природу фотонов

Дифракция света на решетке демонстрирует волновую природу фотонных волновых пакетов. Для того чтобы понять, каким образом дифракция выявляет волновой характер фотонов, нужно рассмотреть механизм дифракции с точки зрения конструктивной и деструктивной интерференции волн. На рис. 7.2 входящий фотонный волновой пакет показан как луч света, падающий на дифракционную решетку. Чтобы достичь разных частей решетки, свету приходится пройти разное расстояние. Свет, попадающий на верхнюю левую часть решетки, проходит меньший путь, чем свет, падающий на нижнюю правую ее часть. Волновой пакет состоит из множества цветов, то есть множества волн разной длины .