Страница 17 из 82
Импульс частицы в состоянии суперпозиции определен не вполне четко
Частица, находящаяся в суперпозиции собственных состояний импульса, вроде представленной на рис. 6.5, не имеет четко определенного значения импульса. Нельзя предсказать, какое его значение будет получено в одном конкретном измерении. Можно утверждать, что, скорее всего, будет получено значение, близкое к p0. Выполнив много измерений, можно найти распределение вероятности.
Классическая частица, подобная той, что показана на рис. 2.5, имеет четко определенное значение импульса. Измерить это значение можно, не изменяя его. Если частица свободна, можно выполнять новые измерения импульса в разные моменты времени, и всегда будет получено одно и то же значение p. Однако это совсем не так в случае абсолютно малых квантовых частиц, находящихся в состоянии суперпозиции по импульсу. В единичном измерении мы получим одно конкретное значение p, но сам акт измерения фундаментальным образом меняет природу частицы. Частица переходит из состояния суперпозиции в одно из собственных состояний (одиночная волна с единственным значением импульса). Из состояния, в котором существует распределение вероятности по импульсам, частица переходит в состояние с единственным значением импульса — тем, которое наблюдалось. Чтобы восстановить распределение, частицу необходимо подготовить заново.
Где находится частица, когда она пребывает в состоянии суперпозиции по импульсу?
При обсуждении рис. 6.1 говорилось, что частица, находящаяся в отдельном собственном состоянии импульса, делокализована по всему пространству. Это совсем не согласуется с описанием фотоэлектрического эффекта, поэтому теперь возникает вопрос: где находится частица, которая пребывает в состоянии суперпозиции? Определенный намек на ответ мы уже получили, обсуждая рис. 6.2–6.4. Из рис. 6.3 и 6.4 видно, что суперпозиция волн разной длины порождает распределение, которое концентрируется в некоторой области пространства. На рис. 6.3 длина волны изменяется от 0,8 до 1,2 и распределение выглядит не столь сильно сконцентрированным в одной области, как на рис. 6.4, где длина волны изменяется от 0 до 4. На рис. 6.6 показано пространственное распределение, соответствующее распределению волн (импульсных собственных состояний), изображенному на рис. 6.5. Есть положение, где пространственное распределение достигает максимума, и это положение также является средним. Для значений x, больших и меньших, чем x0, амплитуды (вероятности) становятся меньше.
Рис. 6.6.График вероятности обнаружения частицы в точке x, когда она находится в суперпозиции собственных состояний по импульсу, показанной на рис. 6.5. Точка x0 соответствует среднему положению с наибольшей вероятностью. Величина ∆x служит мерой ширины пространственного распределения
Что означает распределение вероятности положений (значений x)? Частица с распределением вероятности по импульсам, изображенным на рис. 6.5, дает пространственное распределение вероятности, представленное на рис. 6.6. Одиночное измерение положения дает конкретное значение координаты. Обозначим его x1. Выполнение измерения абсолютно малой квантовой частицы вызывает возмущение, которым нельзя пренебречь, что приводит к коллапсу пространственного распределения вероятности до собственного значения с четко определенной координатой. Чтобы выполнить другое измерение, систему (частицу) надо подготовить заново прежним способом, тогда она будет иметь такое же распределение вероятности по импульсу и, следовательно, такое же пространственное распределение вероятностей. Второе измерение положения частицы даст значение x2, которое в общем случае не будет совпадать с x1. Если, подготавливая систему вновь и вновь, выполнить много измерений положения, обнаружится распределение вероятности по координате, изображенное на рис. 6.6. Величина ∆x служит мерой ширины пространственного распределения. Пространственное распределение, изображенное на рис. 6.6, определенное по множеству измерений идентично подготовленных систем, говорит о вероятности получить при измерении любое конкретное значение положения. С наибольшей вероятностью измерение обнаружит частицу где-то вблизи точки x0, но для любого отдельного измерения невозможно сказать, где будет найдена частица. В то же время мала вероятность получить при измерении положения значение, далекое от x0.
Волновые пакеты
Частица, находящаяся в суперпозиции собственных состояний импульса, как это показано на рис. 6.5, называется волновым пакетом. Импульс ее более или менее известен — с точностью до величины ∆p. Поскольку импульс — это произведение массы и скорости, а массу частицы мы знаем, то нам примерно известна ее скорость. Чем больше ∆p (чем шире распределение импульсов в волновом пакете), тем хуже определен импульс, а значит, при отдельных измерениях будут получаться значения импульса, лежащие в более широком диапазоне. Волновой пакет также растянут и по положению. Частица не находится в конкретной точке x, как в классической физике. Существует разброс координат, задаваемый распределением вроде того, что изображен на рис. 6.6, а количественно его можно охарактеризовать шириной распределения ∆x.
Разброс по импульсу и координате
На рис. 6.7 изображены два волновых пакета. В верхней части показан волновой пакет, состоящий из сравнительно широкого распределения собственных состояний импульса. Большой разброс собственных состояний импульса (большое значение ∆p) приводит к относительно узкому пространственному распределению (малому значению ∆x). В нижней части рисунка показан волновой пакет, составленный из сравнительно узкого распределения собственных значений импульса (с малой величиной ∆p), что приводит к большому разбросу в пространственном распределении (большой величине ∆x).
Связь между ∆p и ∆x, проиллюстрированная на рис. 6.7, носит универсальный характер. Волновой пакет, охватывающий большой диапазон импульсов (с большой неопределенностью импульса), будет иметь небольшой разброс по положению (малую неопределенность координаты). Эта взаимосвязь порождается интерференцией. Волновой пакет, составленный из широкого набора собственных значений импульса, обладает широким спектром длин волн, поскольку каждому собственному значению импульса соответствует волна амплитуды вероятности длиной = h/p.
Рис. 6.7.Распределение вероятности импульса (p) и распределение вероятности координаты (x) для двух волновых пакетов. В верхней части имеет место широкий разброс p (большое значение ∆p), который порождает малый разброс по x (малое значение ∆x). В нижней части разброс по p мал (∆p мало), что приводит к увеличению разброса по x (∆x велико)
Все волны амплитуды вероятности в пакете могут конструктивно интерферировать в некоторой точке пространства. Однако, как показано на рис. 6.2, с удалением от этой центральной точки конструктивной интерференции нарастает деструктивная интерференция. В любой точке, далекой от этого центра, одни волны будут положительными, а другие — отрицательными (см. рис. 6.2). Когда разброс длин волн велик, большая разница в длинах волн приводит к тому, что деструктивная интерференция начинается очень близко от центральной точки максимальной конструктивной интерференции, и пакет оказывается узким (большое значение ∆p, малое — ∆x). Когда разброс по длинам волн мал, то есть длины волн различаются несущественно, надо значительно удалиться от центральной точки идеальной конструктивной интерференции, чтобы добраться до места, где равное число волн имеет положительные и отрицательные значения. В этом случае значение ∆p мало, а ∆x — велико.