Страница 23 из 28
- Вы отчасти правы, - ответила Мнимая Единичка. - Правила движений у нас более разнообразны. При сложении и вычитании вагончики на мнимой дороге движутся по прямой и по тем же правилам, что и действительные числа; 2i + 3i = 5i; 8i - 15i = - 7i, или вот еще: -3i + 9i = 6i, ну и конечно: 5i - 5i = 0.
Мнимые Единички с разными знаками и одинаковыми коэффициентами взаимоуничтожаются на Нулевой станции.
Иное дело-умножение, деление, возведение в степень... Тут уж Мнимые Единицы двигаются не только по прямой, но и по кривой. Именно это вы сейчас и увидите.
Мы вошли в круглый павильон. Там было полным-полно Мнимых Единиц. Все они с нетерпением ждали своей очереди покружиться.
Павильон очень похож на цирк. Места расположены амфитеатром. В центре арена, её под прямым углом друг к другу пересекают две перекладины. Одна перекладина изображает монорельсовую дорогу действительных чисел. На концах её укреплены таблички +1 и -1. Другая перекладина изображает дорогу мнимых чисел. Здесь на концах находятся таблички +i и -i. На пересечении дорог, в центре арены, - Нулевая станция. Здесь укреплена вращающаяся ось, и на неё (совсем как патефонная пластинка) надет прозрачный пластмассовый круг.
Когда мы вошли, карусель только что остановилась. С неё легко соскочила Мнимая Единица с зелёным зонтиком. Вместо неё на круг, точно против таблички +i, стала Мнимая Единица с жёлтым зонтиком.
Наша спутница подошла к микрофону и скомандовала:
- К возведению в степень приготовиться!
Прозвенел звонок, и под звуки плавного вальса круг тронулся. Только не по часовой стрелке, а в обратную сторону. И тут-то начались необыкновенные вещи!
Мнимая Единица с жёлтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички -1 и превратилась в действительное число - Отрицательную Единицу.
Возле таблички снова стала Мнимой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой +1 и невероятно! - опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да ещё положительную. А потом как ни в чём не бывало возвратилась к табличке i. Тут она снова стала Мнимой.
Оркестр заиграл песню "Каким ты был, таким остался!", и всё началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица всё превращалась и превращалась.
- Не понимаю, - сказал Сева. - Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная - опять в Мнимую... Как это?
- На то и возведение в степень! - отозвалась Мнимая Единичка. - Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы: i =v - 1. Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?
- Подкоренное число, - ответил Олег.
- Так это же мы недавно видели!-вспомнил Сева.- Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трёх, то корень квадратный из двух... И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.
- То же самое происходит и с Мнимой Единицей: i2 = i * i = (v-1)2 = - 1.
- Ну, это понятно. А как же действительное число - минус единица превращается в мнимое?
- При этом Мнимая Единица возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень: i3 = i2* i.
А это ведь всё равно что умножить минус единицу на i: -1 * i = -i.
- Теперь, - сказал Олег, - нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом -i превращается в Действительную Единицу со знаком плюс +1 . Она возводится в четвёртую степень: i4 = i2 * i2
А это можно представить себе и так: -1 * -1 = +1.
- Прекрасно! - воскликнула Мнимая Единичка. - Остаётся выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.
В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.
- Не может быть! i5 равно i?! - растерялись мы.- Что же это такое?
- Да ничего особенного: i4 = 1. Чтобы получить i5, умножим единицу на i. А это ведь всё равно что i, взятое один раз, то есть просто i : 1 * i = i.
- Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвёртую степень? - удивился Олег.
- Отчего же! - возразила Мнимая Единичка. - Возводите себе на здоровье и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую... Словом, в любую целую степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и карусель!
Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется i17?
- Ну, это совсем нетрудно, i в пятой равно i, - сказала Мнимая Единичка. Значит, i в девятой тоже равно i...
- Понимаю! - перебил Сева.- Каждый раз надо прибавлять к показателю степени четыре: i13 равно i, значит, i17 тоже равно 1.
Вот, Нулик, хорошая задача для твоих учеников. Попробуйте вычислить, чему равно i24? А чтобы вам легче было, загляните в чертёж мнимой карусели.
Долго ещё любовались мы превращениями Мнимых Единиц, а когда уже собрались уходить, Сева хлопнул себя по лбу:
- Чуть не забыл спросить! Вы сказали, что при возведении в степень Мнимые Единицы движутся по кривой. А ведь здесь они движутся по окружности!
- Окружность тоже кривая, но такая, где все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. При умножении и возведении в степень перемещаются по окружности только Мнимые Единицы.
- А как движутся другие мнимые числа при возведении в степень? - спросил Олег. - Два i, три i, четыре i?
- На нашей карусели вы этого не увидите,- сказала Мнимая Единичка. - Да оно и к лучшему. Это очень сложный вопрос. Нельзя же всё сразу...
- Всякому овощу своё время? - подмигнул Сева.
- Пожалуй,- улыбнулась Мнимая Единичка.
Мы поблагодарили её и распрощались. Но тут пришла очередь Олегу хлопать себя по лбу.
- Извините, пожалуйста, - сказал он, обернувшись, - а зачем вообще нужны мнимые числа?
- Это вы поймёте, когда начнёте решать уравнения второй и третьей степени. Там в ответе часто получаются мнимые числа.
- На что нужны уравнения с мнимыми ответами? - буркнул Сева.
- Спросите об этом у физиков, химиков, инженеров, астрономов... Мнимые числа помогают им решать вовсе не мнимые, а действительно важные практические задачи.
- Но почему же тогда вас называют мнимыми?
- По привычке, - грустно ответила буковка i. - Так нас окрестил французский учёный Рене Декарт. Это было в семнадцатом веке, когда мнимые числа ни во что не ставились. Но с тех пор многое переменилось. Если бы Декарт жил в наши дни, он непременно придумал бы для нас более подходящее название.
- Например, "необходимые числа", - сказал Олег.
- О! Это было бы чудесно! - вздохнула Мнимая Единичка.
Мы ещё раз попрощались и ушли. На этот раз совсем.
Таня.
АЛЬ-МУКАБАЛА!
(Сева - Нулику)
Селям алейкум, старина! Я теперь тоже умею говорить по-восточному. Поживёшь в Аль-Джебре - не то ещё узнаешь!
Сегодня мы учились решать уравнения. Правда, пока ещё первой степени. Но и это не так уж мало.
Здесь есть особая площадка, где решают эти уравнения. И не как-нибудь вручную, а подъёмными кранами. Механизация!
Когда подходишь к этой площадке, видишь одни только краны. Длинношеие, вроде жирафов. Жирафы то поднимают голову, то опускают, то тянутся друг другу навстречу. Только переносят они не кирпичи, не блоки, а буквы, числа, знаки сложения, вычитания. Словом, всё, что понадобится.
Таня оставила в покое свой фасонистый комбинезон, пришла в школьном платье. И очки сняла. Правильно сделала: электросваркой ей здесь заниматься не пришлось.
Что нам бросилось в глаза, - это иксы. Их здесь видимо-невидимо. Ведь там, где решают уравнения, без иксов не обойтись,
Эф не отпускала нас ни на шаг. Наверное, боялась, как бы кого не ушибло краном, хотя везде и так развешаны плакаты:
ПОД КРАНОМ НЕ СТОЯТЬ!
Во время аль-джебры и аль-мукабалы к уравнениям не подходить!
Высоко-высоко, в кабинке крана, сидела молоденькая крановщица - буква Ка. Она передвигала рычаги и зорко следила за регулировщицей Эр. Та стояла внизу. В каждой руке - по флажку. Ими она указывала крановщице, куда двигать кран.