Страница 18 из 28
- Эту игру, - сказал он, - я назвал шахматами: ведь ей предстоит излечить шаха.
С этой минуты шах ни о чём, кроме шахмат, и знать не хотел. Целые дни проводил он вместе со странником за шахматной доской и подолгу размышлял над каждым ходом. Здоровье его заметно улучшилось. А когда ему удалось впервые выиграть партию, он почувствовал себя совершенно исцелённым.
- Требуй у меня всего, чего пожелаешь, - сказал он своему спасителю. Захочешь, подарю тебе гору золота, захочешь - табун чистокровных арабских скакунов...
- О шах,-перебил его странник,-не надо мне ни золота, ни скакунов. В твоей стране столько голодных! Накорми их,-это будет для меня лучшим подарком.
- Какое мне дело до других! - воскликнул разгневанный шах. - Я обещал одарить тебя.
- Для себя мне немного нужно, - улыбнулся странник. - Видишь эту шахматную доску? На ней шестьдесят четыре клетки. Положи на первую клетку одно зёрнышко риса, на вторую-два зёрнышка, на третью-четыре, на четвёртую-восемь. И так удваивай число зёрен на каждой следующей клетке, до тех пор, пока не заполнишь последнюю. Вот и всё.
- Только-то?!-облегчённо вздохнул шах.-Мало же ты просишь! Я бы потребовал больше.
Принесли мешок риса, и шах сам начал выкладывать зёрна. На первую клетку положил одно, на вторую-два, на третью - четыре...
Уже на седьмой клетке для шестидесяти четырёх зёрен не хватило места.
- Что же, - сказал странник, - вели ссыпать зёрна в мешок.
Но шаху быстро наскучило считать. Он кликнул слуг. Теперь стали отсчитывать зёрна они: шестьдесят четыре, сто двадцать восемь, двести пятьдесят шесть, пятьсот двенадцать, тысяча двадцать четыре...
Но это была еще только одиннадцатая клетка!
Стемнело. Зажгли светильники. Слуги чуть не падали от усталости. Когда они дошли до семнадцатой клетки, им нужно было отсчитать шестьдесят пять тысяч пятьсот тридцать шесть зёрен. Но тут они сбились со счёта. Несмотря на то что была уже глубокая ночь, шах велел разбудить мудрецов. Теперь он уже не смеялся, - побледнел, осунулся...
Прошли сутки, и ещё одни сутки, и ещё одни сутки, а мудрецы всё считали... Вот уже и они стали валиться от усталости, а конца всё ещё не было видно. Слуги вносили всё новые и новые мешки...
Но вот вбежал насмерть перепуганный хранитель шахских запасов. Он доложил, что в амбарах не осталось ни одного рисового зёрнышка.
- Негодяй!- закричал шах страннику.- Ты разорил меня!
- Я просил тебя накормить голодных, - ответил странник,- ты не захотел этого. Тогда я изменил свою просьбу. И ты счёл меня глупцом. Попробуй теперь сосчитать, сколько зёрен нужно положить на последнюю, шестьдесят четвёртую клетку, и ты поймёшь, кто из нас глупец. Опустоши все рисовые поля на свете тебе и этого не хватит, чтобы со мной расквитаться.
- Ах так! - в бешенстве закричал шах. - Сейчас ты узнаешь, умею ли я платить сполна. Отрубить ему голову!
- Такова шахская справедливость,- закончила свой рассказ Шестёрка.- А теперь прошу вас убедиться, что задача эта очень проста, но практически невыполнима. Число рисовых зёрен росло по такому правилу: 1, 2, 4, 8, 16, 32, и так далее. Каждое последующее число больше предыдущего в два раза.
Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией. Только, пожалуйста, не путайте её с арифметической. В арифметической прогрессии каждое последующее число больше предыдущего на одно и то же число - оно называется разностью прогрессии. В геометрической прогрессии каждое последующее число больше предыдущего в одно и то же число раз, и число это называется знаменателем прогрессии.
В нашей задаче знаменатель прогрессии равен двум. Если хотите, эту прогрессию можно записать и так:
20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 ...
Нетрудно догадаться, что на шестьдесят четвёртой клетке должно быть 263 два в шестьдесят третьей степени зёрен, потому что на первую клетку приходится 20 - два в нулевой степени зёрен, то есть одно зерно. Но если вы попробуете сосчитать, чему равно два в шестьдесят третьей степени, вы ужаснётесь. Такого огромного количества зёрен никогда не смог бы раздобыть жестокий шах. Он не смог бы даже прочитать это число. Вот оно: 9 223 372 036 854 775 808 - девять квинтиллионов двести двадцать три квадриллиона триста семьдесят два триллиона тридцать шесть миллиардов восемьсот пятьдесят четыре миллиона семьсот семьдесят пять тысяч восемьсот восемь... Уф!
Попробуйте подсчитать, сколько это килограммов риса, если каждое зёрнышко в среднем весит 0,0182 грамма. Знаете, что получится? Больше ста шестидесяти семи триллионов килограммов! Стоит ли доказывать, что моя задача хоть и проста, но практически невыполнима?
Шестёрка поклонилась и села. Ей долго хлопали. Потом поднялась латинская буква Эн. Она сказала так:
- Уважаемая Шестёрка познакомила нас с геометрической прогрессией, где все числа непрерывно растут. Такая прогрессия называется возрастающей. Я позволю себе занять ваше внимание сразу двумя геометрическими прогрессиямивозрастающей и убывающей. И сделаю это на одном и том же примере. Задача моя будет так же проста, как предыдущая, и так же невыполнима. Моя предшественница рассказала прелестную сказку об изобретателе шахмат и коварном шахе. Позвольте и мне задать вам задачу, связанную с шахматами.
Эн вынула из кармана платок, развернула его и показала публике. На платке были нарисованы шестьдесят четыре квадрата, чёрные и белые, - как на шахматной доске.
- Будем считать, - продолжала Эн, - что этот платок заменяет нам шахматную доску. Обратите внимание-толщина платка равна 0,1-одной десятой миллиметра. Складываю платок пополам. Теперь его толщина стала вдвое больше: две десятых миллиметра. Зато и площадь его стала меньше в два раза. Складываю платок ещё раз вдвое. Теперь его толщина в четыре раза больше первоначальной, но и площадь уменьшилась в четыре раза. Я предлагаю складывать этот платок вдвое до тех пор, пока возможно. А потом продолжайте складывать мысленно.
Эн бросила платок в зал, кто-то его подхватил и стал перегибать: раз, второй, третий... Перегнул в шестой и крикнул:
- Готово! Теперь видна только одна клетка. Толщина платка увеличилась в шестьдесят четыре раза. Ничего невозможного тут нет.
- Вы сложили платок только шесть раз, - возразила Эн самонадеянному зрителю, - а надо было шестьдесят четыре! Понимаете разницу? Если бы вам удалось это сделать, толщина платка стала бы такой большой, что он перерос бы горы, миновал солнце и упёрся бы в какую-нибудь отдалённую звезду.
- А вы докажите! - крикнули в зале.
Тогда Эн стала решать задачу на доске.
- Неужели вы не догадались, что я почти повторила предыдущую задачу? После каждого перегибания толщина платка увеличивается вдвое и возрастает по закону геометрической прогрессии: 2, 4, 8, 16, 32, 64 и так далее. Разница только в том, что после шестидесяти четырёх перегибаний толщина платка станет больше не в 263, а в 264 раз. Оно и понятно: ведь эта прогрессия начинается не с 20-двух в нулевой, а с 21-двух в первой степени. Толщина развёрнутого платка 0,1 миллиметра. Чтобы вычислить толщину сложенного платка, надо 0,1 умножить на 264. Получается 1 844 674 407 371 километр.
Один триллион восемьсот сорок четыре миллиарда шестьсот семьдесят четыре миллиона четыреста семь тысяч триста семьдесят один километр.
А ведь расстояние от Земли до Солнца всего-навсего около ста пятидесяти миллионов километров!
Кажется, условие состязания выполнено: задача проста и практически невыполнима.
- А где же обещанная убывающая прогрессия? - спросил Сева.
- Да здесь же, - ответила Эн. - Ведь в то время как толщина платка увеличивается, площадь его всё время уменьшается: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 ,и так далее. Это и есть убывающая геометрическая прогрессия. После шестидесяти четырёх перегибаний площадь станет в 1/264 раз-в одну вторую, взятую в шестьдесят четвёртой степени раз, меньше первоначальной. И если бы мы складывали платок дальше, то она всё время приближалась бы к нулю, а толщина (или высота) стремилась бы к Великанам в Бесконечность. Вы согласны? Тогда благодарю за внимание.