Страница 10 из 19
Эйлера функция
Э'йлера фу'нкция, число j(а ) натуральных чисел, меньших, чем а , и взаимно простых с а :
,
где p1 ,... , pk — простые делители числа а. Введена Л. Эйлером в 1760—61. Если числа а и b взаимно просты, тоj(ab ) = j(а ) j(b ). При т> 1 и наибольшем общем делителе (а , m ) = 1, а , m — взаимно просты, имеет место сравнение a j(m ) = 1 (mod m ) (теорема Эйлера). Э. ф. встречаются во многих вопросах чисел теории .
Эйлера числа
Э'йлера чи'сла в математике, целые числа Еп , являющиеся коэффициентами при t n /n !, в разложении функции 1/ cht (см. Гиперболические функции ) в степенной ряд:
Введены Л. Эйлером в 1755. Э. ч. связаны рекуррентным соотношением (Е +1) n +(E ¾1) n = 0, n = 1, 2, 3,..., E 0 = 1 (после возведения в степень надо вместо Ek подставить Ek ) и с Бернулли числами — соотношениями
,
и .
Встречаются в различных формулах математического анализа.
Эйлера число
Э'йлера число', один из подобия критериев движения жидкостей или газов. Характеризует соотношение между силами давления, действующими на элементарный объём жидкости или газа, и инерционными силами. Э. ч. Eu определяют формулой
(иногда 2p/ ru2 ), где p2 , p1 — давления в двух характерных точках потока (или движущегося в нём тела), ru2 /2— скоростной напор, r — плотность жидкости или газа, u — скорость течения (или скорость тела). В случае течений жидкости с кавитацией аналогичный критерий называется числом кавитации ,
где p — характерное давление, р н — давление насыщенных паров жидкости. В сжимаемых газовых потоках Э. ч. в форме Eu = 2p/ ru2 связано с другими критериями подобия — Маха числом М и отношением удельных теплоёмкостей среды g — формулой Eu = 2/ gM 2 , где g = c p /cv (c p — удельная теплоёмкость при постоянном давлении, cv — то же при постоянном объёме). Названо по имени Л. Эйлера .
Эйлера-Маклорена формула
Э'йлера—Макло'рена фо'рмула, формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена:
где Bv —Бернулли числа , Rn — остаточный член. Э.—М. ф. применяется для приближённого вычисления определённых интегралов, для исследования сходимости рядов, для вычисления сумм и для разложения функций в ряд Тейлора. Например, при m = 1, р = 0, n = 2m + 1,
Э. — М. ф. даёт следующее выражение:
.
Э.—М. ф. была впервые приведена Л. Эйлером в 1738. Независимо формула была открыта позднее К. Маклореном (1742).
Эйлера-Фурье формулы
Э'йлера—Фурье' фо'рмулы, формулы для вычисления коэффициентов разложения функции в тригонометрический ряд (ряд Фурье). Э.—Ф. ф. названы по имени Л. Эйлера , давшего (1777) первый их вывод, и Ж. Фурье , систематически (начиная с 1811) пользовавшегося тригонометрическими рядами при изучении задач теплопроводности. См. Фурье коэффициенты , Тригонометрический ряд .
Эйлерова характеристика
Э'йлерова характери'стика многогранника, число ao —a1 +a2 , где ao — число вершин, a1 — число рёбер и a2 — число граней многогранника. Если многогранник выпуклый или гомеоморфен (см. Гомеоморфизм ) выпуклому, то его Э. х. равна двум (теорема Л. Эйлера, 1758, известная ещё Р. Декарту).
Э. х. произвольного комплекса есть число , где n — размерность комплекса, ao — число его вершин, a1 — число его рёбер, вообще ak есть число входящих в комплекс k -мерных симплексов. Оказывается, что Э. х. равна (формула Эйлера—Пуанкаре), где pk есть k -мерное число Бетти данного комплекса (см. Топология ). Отсюда следует топологическая инвариантность Э. х. Ввиду топологической инвариантности Э. х. говорят об Э. х. поверхности, а также полиэдра, подразумевая под этим Э. х. любой триангуляции этой поверхности (этого полиэдра).
Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М.— Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии. 2 изд., М., 1976.
Эйлеровы интегралы
Э'йлеровы интегра'лы, интегралы вида
(1)
(Э. и. первого рода, или бета-функция, изученная Л. Эйлером в 1730—31, ранее рассматривалась И. Ньютоном и Дж. Валлисом ) и
(2)
[Э. и. второго рода, или гамма-функция , рассмотренная Л. Эйлером в 1729—30 в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2) встречается у Эйлера в 1781]; название «Э. и.» дано А. Лежандром . Э. и. позволяют обобщить на случай непрерывно изменяющихся аргументов биномиальные коэффициенты и факториал n !, ибо, если а и b — натуральные числа, то