Страница 9 из 19
.
Выведено Л. Эйлером в 1744.
Эйлера уравнения
Э'йлера уравне'ния,
1) в механике — динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.
Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид
Ix + (Iz — I y ) wy wz = Mx ,
I y + (Ix — Iz ) wz wx = M y , (1)
Iz + (I y — Ix ) wx wy = Mz ,
где Ix , I y , Iz — моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, wх , wу , wz — проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, Mx , M y , Mz — гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; , , — проекции углового ускорения.
Кинематические Э. у. дают выражения wх , wу , wz через Эйлеровы углы j, y, q и имеют вид
wx = sin q sinj + cosj,
wу = sin q cosj — sinj, (2)
wz = + cos q.
Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.
2) В гидромеханике — дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р , плотность r, проекции скоростей частиц жидкости u , u , w и проекции действующей объёмной силы X , У , Z рассматривать как функции координат x , у , z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:
,
,
.
Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X , У , Z , а также начальные и граничные условия, определить u , u, w, р , r, как функции х , у , z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера
.
В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния r = j (р ) (или r — const, когда жидкость несжимаема).
Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.
Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.
С. М. Тарг.
Эйлера формулы
Э'йлера фо'рмулы в математике, важнейшие формулы, установленные Л. Эйлером .
1) Э. ф., связывающие тригонометрические функции с показательной (1743):
eix = cos х + i sin х ,
, .
2) Э. ф., дающая разложение функции sin х в бесконечное произведение (1740):
.
3) Тождество Эйлера о простых числах:
,
где s = 1, 2,..., и произведение берётся по всем простым числам р.
4) Тождество Эйлера о четырёх квадратах:
(a 2 +b 2 + c 2 + d 2 )(p 2 + q 2 + r 2 + s 2 = x 2 +y 2 +z 2 +t 2 , где
,
,
,
.
5) формула Эйлера о кривизнах (1760):
.
Она даёт выражение кривизны 1/R любого нормального сечения поверхности через её главные кривизны 1/R 1 и 1/R 2 и угол j между одним из главных направлений и данным направлением.
Эйлеру принадлежит также Эйлера—Маклорена формула суммирования, Эйлера—Фурье формулы для коэффициентов разложений функций в тригонометрические ряды .
Лит. см. при ст. Эйлер .