Страница 83 из 284
Есть некая ирония в том, чтобы считать Эпименида «набором лжецов», потому что главный прорыв Рассела случился, когда он начал рассуждать именно в этом ключе: рассматривая не Эпименида как личность, а Эпименида как тип. Размышления о «порочном круге» Пуанкаре приводят Рассела к разработке его «разветвленной теории типов» – его решения собственного же парадокса.
Теория типов
Эта теория типов – один из величайших вкладов Рассела в математическую философию, и она служит краеугольным камнем «Оснований математики». По сути, она устраняет парадокс Рассела, меняя правила игры и позволяя его избежать. Каким образом? Вдохновленный критикой Пуанкаре относительно порочного круга, Рассел понимает, что большинство парадоксов в математике возникают из-за некой сбивающей с толку самореференции. Поэтому он стремится покончить с этим одним махом, разделяя логические высказывания, содержащие объекты и отношения, на иерархию различных классов. Рассел накладывает эту иерархию типов на множества и формулирует то, что он начинает называть принципом порочного круга: никакие множества, классы или типы не могут иметь членов, определяемых через них самих. Всякий данный тип должен определяться исключительно в терминах более низких типов.
Это означает, что брадобрей, который бреет всех, кто не бреет себя сам, относится к более высокому типу, чем его клиенты (не в плане социально-экономического статуса, возможно, но как определенная категория – в отношениях мастера и клиента). Сам брадобрей – это всегда тип «брадобрей» и никогда – тип «клиент». И он является брадобреем в силу того факта, что он бреет их, а не себя. Теория типов Рассела утверждает, что брадобрей не является частью группы побритых, потому что он «не их типа» – по крайней мере, не в своей собственной цирюльне. То, что брадобрей делает дома в собственной ванной, не имеет значения (разве что для партнера брадобрея). Бреет ли он себя или нет, но в любом случае он никогда не является частью множества побритых в цирюльне.
Это позволяет избежать парадокса, потому что по-прежнему можно утверждать, что брадобрей бреет всех, кто не бреет себя сам. Вопрос о том, означает ли это, что он бреет себя, становится бессмысленным, так как теория типов, по сути, переформулирует роль брадобрея: он бреет всех остальных, кто не бреет себя. Говоря более обобщенно, к брадобрею предъявляются два критерия: во-первых, он бреет каждого, кто не бреется сам, и, во-вторых, любой, кого он бреет, никогда не бреет никого другого в цирюльне. Технически говоря, любое выражение, содержащее переменную, само по себе является типом более высокого порядка, чем эта переменная, утверждает Рассел, тем самым избегая собственного парадокса.
Возьмем пример с Эпименидом. В формулировке Рассела тип «Эпименид», к которому он обращался, произнося знаменитую фразу «Все критяне – лжецы», в рамках иерархии типов фактически не включал бы самого Эпименида. Это больше похоже на то, если бы он сказал: «Все
эти
критяне – лжецы». Помещая Эпименида или брадобрея на более высокий пьедестал, Рассел избегает парадокса.
Однако это странное решение – вымученный «хак», призванный любой ценой избежать самореференциального противоречия. Но оно работает и достигает цели, той цели, которую ставит перед собой Рассел. Его теория типов не допускает класса всех возможных классов или множества всех множеств, а вместо этого вводит иерархию классов, которые не могут быть членами самих себя. Это своего рода триумф, поскольку он устраняет логическое противоречие, тормозящее науку. Но из-за того, что Рассел перекраивает базовые определения ради искусственной заплатки, его результат также воспринимается как «довольно неуклюжая реконструкция математики», по словам современного американского философа Паоло Манкозу. Математик Канамори называет теорию типов Рассела громоздкой и неприглядной: «пугающая симметрия, навязанная ловким плутом».
* * *
Претензии к «громоздкости и неприглядности» теории возникли не на пустом месте: теория типов требует от Рассела ввести в основания математики еще три новые «аксиомы-карт-бланша», чтобы перестроить ее на твердой почве. Проблема в том, что неясно, могут ли эти исправления сами по себе быть доказаны логикой. Понимая это, Рассел и Уайтхед заявляют в «Основаниях математики», что дополнительные аксиомы на самом деле не являются логически необходимыми – они лишь эмпирически истинны. Это заставляет некоторых критиков отмахнуться от теории типов как от глупой игры с синтаксисом.
Уайтхед и Рассел налагают «запрет на построение определенных видов лингвистических выражений, – скажет британский математик и физик Э. Т. Уиттекер в 1940-х годах, – тем самым избегая всех конструкций, которые могли бы привести к логическим противоречиям».
Рассел осведомлен об этой критике, но в конечном счете подобные опасения его не трогают. «Теория типов на самом деле является теорией символов, а не вещей, – говорит он. – В надлежащем логическом языке это было бы совершенно очевидно».
Совершив этот прорыв и проработав с Уайтхедом еще несколько лет над завершением книги – всего восемь лет от начала до конца, – Рассел полностью вымотан и наконец свободен. «Мой интеллект так и не оправился полностью от этого напряжения», – скажет он позже.
Королева Математика требовательна, если не сказать капризна. Позже Рассел будет утверждать, что в начале 1900-х он несколько раз подумывал о самоубийстве из-за душевного напряжения – как супружеского, так и математического. В своей автобиографии Рассел пишет, что он стоял на пешеходном мосту, наблюдая за паровозами на станции Кенсингтон, и гадал, хватит ли у него мужества броситься вниз на рельсы, навстречу смерти.
Только любовь к математике заставляет его жить дальше, утверждает он. «Основания математики» – его «главный интерес [и] главный источник счастья». Впрочем, возможно, это говорило не столько о его любви к математике, сколько о его ненависти к собственной жизни. (Учитывая тот кошмар с Элис – «Это нельзя назвать жизнью, ибо это не она!»)
* * *