Страница 82 из 284
Но, безусловно, самая глубокая критика Цермело в 1904 году исходит от Пуанкаре. Он уже публично критиковал некоторые аспекты теории множеств до международного конгресса. Увидев статью Цермело, он лишь усиливает критику. «Хотя сама аксиома Цермело мне, скорее, симпатична, – пишет Пуанкаре, – его доказательство я отвергаю». Критика Пуанкаре состоит в том, что Цермело использует определения, создающие «порочный круг», поскольку он сначала определяет совокупность, а затем выбирает из нее элементы.
Цермело-бог
После того как Цермело решает ответить на критику и обратиться к оппонентам, он делает это, переработав свое доказательство 1904 года о том, что каждое множество может быть вполне упорядочено. Отталкиваясь от этого, он расширяет сферу деятельности и в 1905 году начинает работу над аксиоматизацией всей теории множеств, следуя тому, что Гильберт сделал с геометрией пятью годами ранее. «Я намерен показать, как вся теория… может быть сведена к нескольким определениям и семи принципам, или аксиомам, которые представляются взаимно независимыми», – говорит Цермело.
Откуда берутся эти определения и принципы, говорит Цермело, он обсуждать не будет. Могут ли они быть доказаны, добавляет он, он не станет пытаться выяснить. «Но я надеюсь, что проделал здесь, по крайней мере, некоторую полезную подготовительную работу для последующих исследований таких более глубоких проблем», – говорит он. Не белоручка, а настоящий пахарь, Цермело сдержал слово. Он публикует свой переработанный труд в 1908 году, и это огромное достижение, как признают сегодня эксперты.
Конечно, некоторые части его работы в 1908 году все еще будут казаться трудными, а некоторые даже заслуживающими опровержения. И люди в то время будут по-прежнему безжалостны в своих оценках. Сам Рассел отвергнет одну часть работы Цермело 1908 года, назвав ее «настолько расплывчатой, что в ней нет никакой пользы». Тем не менее Цермело войдет в историю.
В частности, он определяет набор аксиом, которые мы сегодня называем ZFC. «Z» – в честь Цермело (Zermelo), а также «C» – в честь аксиомы выбора (Choice). (Иными словами, он вносит «Z» и «C» в ZFC, основу современной математики.) Взятые вместе, аксиомы Цермело позволяют математикам порождать множества и манипулировать ими, и они станут незаменимыми – «одержав победу», по словам Канамори.
Но все это будет позже. В 1904 году Рассел знает о прорыве Цермело, но недооценивает его. Критика «порочного круга», выдвинутая Пуанкаре против работы Цермело, сильно бьет по сознанию Рассела. К тому времени он уже глубоко погружен в свою новую книгу с Уайтхедом. Идея порочного круга потрясает его. Он питает огромное уважение к Пуанкаре, и тяжелая критика старшего французского математика действительно заставляет Рассела задуматься – и в конечном итоге приводит его к базовому концептуальному прорыву в «Основаниях математики».
Мануте Бол античной философии
Путь, по которому идет Рассел, – это путь, впервые проложенный тысячи лет назад самым известным лжецом в истории человечества (если не считать Хитрого Дика Никсона). Эпименид Критский – загадочная фигура древнего мира, знаменитая формулировкой «парадокса лжеца», который звучит примерно так:
Это утверждение ложно
. (Если оно ложно, то оно не ложно; а если не ложно, то ложно.) Едва ли по этому можно понять, насколько крут был Эпименид. Сейчас объясню, что я имею в виду.
Когда я был подростком, мы с отцом были фанатами ныне покойного великого Мануте Бола, суданского стартового центрового команды НБА «Вашингтон Буллетс» (сейчас «Уизардс»), рост которого составлял 2 метра 31 сантиметр. Я любил Бола по той же причине, по которой люблю Эпименида. «Буллетс» выбрал его на драфте в 1985 году и выставлял напоказ почти как диковинку в «цирке уродов», ставя рядом с разыгрывающим Магси Богзом (ростом 160 см) – самый высокий и самый низкий игроки НБА, плечом к плечу. Но этот рекламный трюк был лишь приманкой для глаз. Больше всего в Боле я люблю то, что он был «единорогом» – поистине великим в одном узком смысле: он был мастером блок-шотов, не похожим ни на кого, кого когда-либо видел мир. Легенда. Лучший в истории! Он до сих пор удерживает несколько рекордов НБА по блок-шотам, включая уникальное достижение, которое, скорее всего, никогда не будет повторено в спорте: он единственный игрок в истории баскетбола, записавший на свой счет больше блоков, чем очков за карьеру.
Точно так же Эпименид – единственный философ в истории, который больше известен ложью, чем истиной. И это не единственная странность, с ним связанная. Говорили, что он умел астрально проецировать свой дух, покидая тело. Говорили, что он дожил до 300 лет – очевидная ложь сама по себе. Однажды он якобы проспал 57 лет подряд. А когда он наконец зашевелился и проснулся, первое, что он произнес, было классической логической остротой, благодаря которой он навеки остался знаменитым: «Все критяне – лжецы!»
Согласно апостолу Павлу в Новом Завете, точные слова Эпименида были такими: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые». Эти слова нашли живой отклик у Павла и христиан, прозвучав как евангельская проповедь, осуждающая все самое гнусное в людях: обман, порочность, чревоугодие и ужасное скотское поведение злых людей по сравнению с праведниками.
Но с веками высказывание Эпименида приобрело дополнительный смысл, став известным как парадокс лжеца – алогичный оборот, равносильный фразе: «Истинно, что это утверждение ложно». Это делает парадокс лжеца очень близким к парадоксу Рассела в том смысле, что это утверждение истинно тогда и только тогда, когда оно таковым не является.
Трудно судить, был ли Эпименид праведником или грешником на самом деле. Да и вообще, существовал ли он? Возможно, он был легендой. Сказкой на ночь, которую старые математики рассказывали своим маленьким логикам. Возможно, он был собирательным образом, сотканным из разных историй о разных людях древности. Его 57-летний сон наводит на мысль, что это могли быть разные люди, своего рода античный «ужасный пират Робертс»: не один Эпименид, а несколько, где каждый играл роль какое-то время, а затем продавал титул другому, когда старый Эпименид уходил на покой. (Вполне в духе лжеца.)