Страница 81 из 284
Поэтому, когда в 1904 году собирается III Международный конгресс, люди поражены, обнаружив, что Кантор присутствует там лично. К тому моменту он стал почти мифической фигурой. Это должно было стать его триумфом. Его гордым кругом почета. Он должен был завернуться в математический флаг и приписать все заслуги Богу. Должны быть аплодисменты. Должно быть обожание. Восхваление. Пунш и печенье. Но ничего подобного мы не видим. Все идет совсем не так. И это становится еще одним тяжелым эпизодом в долгой истории расшатанной психики Кантора.
Инцидент с Кёнигом
Кантор глубоко потрясен, когда венгерский математик из Будапешта по имени Дьюла (Юлиус) Кёниг представляет доклад, бросающий ему фундаментальный вызов: он пытается опровергнуть континуум-гипотезу. Кёниг заявляет, что континуум-гипотеза неверна, и утверждает, что может это доказать. Кантор, разумеется, отказывается в это верить, твердо стоя на своей математико-религиозной вере. Но он не может сразу найти ошибку в доказательстве Кёнига, хотя уверен, что она должна быть. В конце концов, Бог есть Бог, математика есть математика, а Кантор есть Кантор.
Кёниг утверждает, что континуум-гипотеза ложна по техническим основаниям, заявляя, что множество вещественных чисел «большой бесконечности» (алеф-один) не может быть вполне упорядоченным – это означает, что элементы множества нельзя выстроить в логическую возрастающую иерархию, как это делается с конечным множеством, вроде первых десяти ненулевых чисел последовательности Фибоначчи: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55}. Полная упорядоченность считается необходимым условием для доказательства континуум-гипотезы, поэтому, если это невозможно сделать, гипотеза не может быть доказана. Логика выглядит убедительной, и все же Кёниг ошибается. Он допустил ошибку в своей работе, и этот изъян вскоре обнаруживает тот же молодой ученик Гильберта, который стал соавтором открытия парадокса Рассела. (Привет, Цермело!)
Кёниг обещает Гильберту, что подготовит статью на основе своей лекции для публикации в журнале
Mathematische A
, редактором которого является Гильберт. Однако статья так и не материализуется, потому что Кёниг обнаруживает свою ошибку. Он неправ, уязвлен и полон сожаления. «После череды несчастливых дней я должен наконец сообщить вам, что не могу прислать обещанную статью», – пишет Кёниг, называя свое неудачное доказательство «катастрофой конгресса».
«Как же я сожалею о случившемся и как же страдаю от этого, – говорит он в своем письме. – Я нахожу непостижимым, как я мог не увидеть этого раньше».
Цермело, вдохновленный всей этой драмой, решает погрузиться в вопрос глубже. Он берется за ту самую проблему, с которой бился Кёниг. Кёниг думал, что сможет доказать, будто несчетное множество «большой бесконечности»
не может быть вполне упорядоченным, но его доказательство оказалось ошибочным. Ладно, хорошо. Но неудача в доказательстве того, что что-то невозможно, не является окончательным доказательством того, что это возможно. Поэтому после конгресса Цермело решает сесть и доказать, что каждое множество, даже множество вещественных чисел большой бесконечности, действительно может быть вполне упорядочено.
К осени 1904 года Цермело справляется с задачей. Он пишет Гильберту, сообщая, что у него есть доказательство того, что каждое множество может быть вполне упорядочено – его так называемый Wohlordnungssatz (теорема о вполне упорядочении). «Для любого семейства непустых множеств существует соответствие, которое сопоставляет каждому из этих множеств один из его элементов», – пишет он, описывая свой организованный способ выбора, который в конечном счете приведет к его так называемой аксиоме выбора.
Аксиома выбора
Что такое аксиома выбора? Представьте школу, где в каждом классе есть как минимум один, а возможно, и больше учеников (ваши непустые множества), и вы решаете упорядочить все классы, выбрав одного конкретного ученика из каждого кабинета. Это простая аналогия, но Цермело идет дальше, утверждая, что можно применить «функцию выбора», чтобы проделать то же самое для бесконечного множества (каждый класс, который когда-либо был, есть, будет или мог бы быть). Он использует это понятие выбора и бесконечного упорядочения как основу для создания аксиоматической системы теории множеств, делая для теории Кантора больше, чем мог бы сам Кантор.
«В последующие годы, – напишет столетие спустя современный американский математик и эксперт по теории множеств Акихиро Канамори, – базовый каркас, созданный аксиомами Цермело, с их схематичной простотой и открытостью, одержит верх в качестве рабочего фундамента математики». (Как выясняется: Бог есть Бог, математика есть математика, а Цермело есть Цермело.)
Некоторые впечатлены усилиями Цермело в 1904 году. А теперь, годы спустя, после века признания, их число многократно возросло. «Она оказалась настолько удачной, что, за исключением мелких поправок, остается главной базой современной математики», – напишет голландский математик Дирк ван Дален.
Но если сегодня люди снимают шляпы перед Цермело, то в то время… совсем наоборот!
Когда работа Цермело впервые выходит в свет, она вызывает резкую критику. Огонь и ярость. Цермело показывает, что базовые предположения Кантора верны, но его метод вызывает споры. После того как появляется доказательство Цермело, следующий выпуск того же журнала ломится от яростных писем читателей, полных сомнений и готовых оставить после себя выжженную землю.
Самая острая критика прилетела из Парижа, от самого великого Пуанкаре. И он был не один. В те дни ни один немецкий математик не мог забить «слэм-данк», чтобы французский «диванный арбитр» не свистнул фол. Французский математик Феликс Эдуард Жюстен Эмиль Борель также возражает против доказательства Цермело. Оно требует бесконечного итеративного процесса, который он считает абсурдным. «Любой аргумент, предполагающий, что произвольный выбор делается несчетно бесконечное число раз, лежит вне области математики», – пишет он.
Итальянский математик Пеано, работа которого так вдохновила Рассела, тоже возражает против Аксиомы выбора Цермело. Нельзя задать бесконечность произвольных выборов, утверждает он. Невозможно! Цермело отвечает, что Пеано сам себя ограничивает. Математику Пеано он назвал «искусственно изуродованной».