Страница 80 из 284
Как только Уайтхед присоединяется, Рассел ликует. «К моей великой радости, он согласился», – говорит Рассел. Но ни один из них не имеет понятия, что их ждет. Лишь малый уголок вселенной логики был исследован с древних времен, напишет позже Рассел. За 2 тысячи лет – со времен Аристотеля – до XIX века никто не делал в логике ничего по-настоящему оригинального. Но подход с использованием символов в логике, пионерами которого стали Буль, Фреге и Пеано, меняет правила игры. Теперь Рассел и Уайтхед хотят пойти дальше. Они хотят в полной мере развить «логицизм» и вывести обычную математику из логики.
Principia Mathematica
Суть логицизма в том, что логика лежит в основании математики – что арифметика, алгебра, чистый анализ, геометрия и все остальные области всегда возвращаются к ней. На практике это означает, что любое понятие, доказательство или аксиома в математике могут быть определены с использованием комбинаций лишь самых примитивных предикатов логики (таких вещей, как «и», «или», «не»).
В своей работе Рассел и Уайтхед пошли по стопам Фреге. Они определяют примитивные понятия и высказывания математики с помощью логики, а затем выводят высшие математические теоремы, используя те же самые высказывания. Они совмещают этот подход с более удобной, пусть и все еще несколько эзотерической нотацией Пеано (в отличие от странностей Фреге, напоминающих дизайн плохой татуировки). Подход кажется понятным, хотя это и не так просто. «Это больше не мечта или стремление», – пишет Рассел перед тем, как они начинают проект. Многие математические основы уже проработаны. «В немногих оставшихся случаях нет никаких особых трудностей».
Никаких особых трудностей? Это знаменитые последние слова.
Они начинают с мыслью, что работа над книгой будет быстрой и легкой. Думают, что года вполне хватит, чтобы завершить дело. Они закончат к 1904-му. И почему бы нет? Двое умных парней. Один истинный предмет. Они дают новой книге возвышенное латинское название – Principia Mathematica, что, к некоторой путанице, переводится на английский как «Принципы математики» – так же, как называется только что опубликованная книга Берти. В каком-то смысле это логично, ведь поначалу они считают, что новая книга будет просто продолжением той, старой. Закончить ее за год – проще простого. Может, даже раньше. Но они просчитались на много лет.
«По мере продвижения работы становилось все более очевидным то обстоятельство, что предмет исследования существенно больше, чем мы предполагали», – пишут они в предисловии к книге, первый том которой выходит лишь в 1910 году.
«Больше» – это мягко сказано. Книга оказывается пугающим проектом, и не только потому, что на ее завершение уходят годы. Сама книга массивна. Она заполняет тысячи страниц и три толстых тома. Текст настолько перегружен символами, что становится почти непостижимым. И она не выполняет того, что они задумали. «Основания математики» – это смелая попытка утвердить фундаментальную идею, в которую многие верят в 1901 году: что формальная логика и математика – это одно и то же. Но ей не удается доказать это, даже когда она раздувается в большое, толстое, устрашающее, занимающее треть полки неприступное чудовище – тот тип книг, о которых многие говорят, но мало кто читает.
То, с каким трудом дается усвоение их книги, не становится для Рассела сюрпризом. Он наслаждается фундаментальной непрозрачностью текста и тем фактом, что ничто в нем не кажется очевидным. Он находит эту сложность привлекательной. «Дело в том, что символизм полезен, потому что он делает вещи трудными, – пишет он. – Очевидность – всегда враг правильности».
Единственное, что очевидно для Рассела в самом начале проекта, около 1903 года, – это знание того, что ему необходимо как-то разобраться с парадоксом Рассела. И он с Уайтхедом не единственные, кто так думает.
Hoc Continuum Hypothesin
Когда в 1880-х годах у Георга Кантора впервые проявились признаки душевной болезни, он посетил Гейдельберг, где призвал к созданию нового математического общества – с международным уклоном, в отличие от традиционных обществ внутри стран, которые хоть и принимали иностранных членов, но были сосредоточены на своих гражданах. Он преуспел в этом, помогая создать Международный конгресс математиков – хотя всю тяжелую работу проделали по большей части другие.
На первом собрании группы в Цюрихе пленарные докладчики особо выделили Кантора. А на Второй международной конференции в Париже в 1900 году Гильберт оказал ему еще более особый знак уважения, выбрав первой из своих 23 проблем ту самую «загвоздку», что не давала Кантору покоя годами, – доказательство континуум-гипотезы. Она гласит, что не существует размера бесконечного множества между «малой бесконечностью» (множество целых чисел
) и «большой бесконечностью» – его множеством всех подмножеств
, эквивалентным кардинальности бесконечного множества вещественных чисел:
Континуум-гипотеза утверждает, что кардинальность бесконечного множества подобна двуглавому Горцу:
может быть либо одно, либо другое!
Кантору так и не удалось это доказать, но, сделав эту задачу первой из своих 23 великих проблем, Гильберт надеялся вдохновить на это кого-то другого. Спустя четыре года после его знаменитого доклада, в 1904 году, это все еще не было сделано. И тем не менее дела у Кантора шли как нельзя лучше – по крайней мере, на бумаге.
Около 336 математиков собираются на III Международный конгресс математиков в августе 1904 года в Гейдельберге – городе, где Кантор впервые предложил проводить подобные международные встречи почти за 20 лет до этого. Тот же город, та же цель.
К этому времени математические общества возникают в городах Европы как грибы после дождя, и почти все они хотят видеть Кантора своим почетным членом. Таким образом, 1904 год должен стать для Кантора кругом почета. Его организаторский гений очевиден. Его слава и значимость растут. Его сообщество на подъеме. Его математическая проницательность «почти повсеместно признана», по словам его биографа Даубена. В том году он получает медаль Сильвестра – главную награду Королевского общества в Лондоне.