Страница 235 из 284
Он отмел очевидный, глупый итеративный подход, который приходит на ум каждому при взгляде на эту задачу: мысленно рисовать берега и перебирать комбинации из более чем 5 тысяч возможностей. Эйлер применил иной подход, сделав то, до чего никто в истории математики раньше не додумался. Он упростил задачу, изобразив ее в виде абстрактного графа, и тем самым заложил фундамент двух совершенно новых наук, процветающих и поныне: теории графов и топологии. Топология, «геометрия искажений», исследующая фундаментальные геометрические свойства, которые не меняются, когда мы растягиваем, скручиваем или сжимаем объекты, – это та самая дисциплина, которую 150 лет спустя еще больше прославит Брауэр.
* * *
Для кого-то наследие Эйлера было феноменом не только математическим, но и культурным. Легенда о великом математике была еще жива, когда юный Гильберт рос в Кенигсберге. Пример Эйлера вдохновлял мальчика так же, как гитарист, растущий в Ливерпуле 1970-х, вдохновлялся бы «Битлз», видя босоногих кумиров на каждом пешеходном переходе.
Когда юный Гильберт гулял по городу, образ щетинистого Эйлера, должно быть, возникал повсюду. Величие за каждым углом. Что Эйлер думал. Что Эйлер делал. Как он атаковал трудные задачи в лоб. Действуй. Решай. Задача о семи мостах – классический пример. Эйлер прыгнул в нее, не раздумывая, и соорудил математический плот, запустив в плавание новые идеи. Эти мосты все еще стояли там, когда Гильберт был ребенком. Сами реки шептали имя Эйлера, если прислушаться. Этот парень ходил по воде.
Изобретение новой математики было именно тем, что Гильберт делал лучше всего всю свою карьеру, и он добился в этом ошеломительного успеха. Но проблемы, с которыми сражался Гильберт, были куда сложнее, чем мог вообразить даже Эйлер. Во время Великой математической войны 1920-х, набрасывая черновики своей программы, он пытался сделать гораздо больше, чем просто отыскать один-единственный маршрут через кучу нелепых мостов. Ставки были куда выше. (Впрочем, Гильберт никогда не был мастером наводить мосты).
Теперь, в 1930 году, в финале долгой и выдающейся карьеры, которой гордился бы даже Эйлер, Гильберт находится в городе своего рождения, где его чествуют за достижения всей жизни – пышное торжество для великой Королевы Математики и ее принца заката.
«Вся наша современная культура, поскольку она опирается на познание и освоение природы, имеет своим фундаментом математику», – говорит Гильберт ликующей толпе на праздновании. В Кенигсберге царит прекрасная атмосфера. Это его круг почета. Финальный поклон. Этим летом солнце сияет над городом, и оно сияет для Гильберта. Мэр вручает ему ключ от города. Он купается во внимании толпы. Поднимаются бокалы. Произносятся тосты. Все возможно. Он знает это.
Гильберт заканчивает свою последнюю речь ровно на той же ноте, что и самую известную, – эхом той безудержной веры в решения, что звучала в его парижском докладе 1900 года. Выступление в Кенигсберге – это отголосок того доклада и твердое подтверждение его пожизненного убеждения. Не должно быть никакого ignorabimus, никакого незнания, заявляет он. Это было его главным посланием 30 лет назад, его главным уроком с тех пор, и это его последняя мысль сейчас. То, что он сказал в Париже 30 лет назад, он повторяет теперь, уходя из общественной жизни:
Wir müssen wissen, wir werden wissen
(«Мы должны знать и будем знать»).
Гильберт с тем же успехом мог бы сказать: «Мы победили». Брауэр разбит, низложен и раздавлен. А Гильберт стоит здесь – лицо в лучах солнца, в ушах гром оваций, на груди ленты с почетным ключом, а в сердце – Королева Математика. Или даже так: «Он победил». После речи его тут же увозят на прямой эфир на радио. Он садится в такси и уезжает прочь – прочь от математики.
Это могло бы стать концом истории. Но почти в тот же самый момент другой математик встает со своего места в душном лекционном зале на другом конце Кенигсберга, где проходит научная конференция. Там группа молодых экспертов выступает с докладами о логицизме, интуиционизме и формализме.
Следует сессия вопросов и ответов, и именно тогда это происходит. То, чего никто не ожидает. Разорвавшаяся бомба. Мы не можем знать, мы не будем знать!
Следует сессия вопросов и ответов, и именно тогда это происходит. То, чего никто не ожидает. Разорвавшаяся бомба.
Мы не можем знать и не знаем!
Grundzüge der theoretischen Logik
Вернемся на несколько лет назад, в лето 1927 года, когда молодой математик из Вены по имени Курт Гёдель заинтересовался логикой в целом и книгой Рассела и Уайтхеда в частности.
Год спустя он написал письмо другу, сообщив, что закончил книгу, но остался несколько разочарован. О, разумеется! Он был наслышан об этом труде. Репутация книги – да и самих авторов – бежала впереди них. Написать такое – поистине титанический труд; само существование напечатанного тома казалось чудом. Все так. Но величие этой работы было изрядно раздуто восторгами публики из серии «купил, чтобы поставить на полку». Груз воображаемой значимости всегда давит на умы сильнее реального, и знаменитый труд Рассела и Уайтхеда – ярчайшее тому подтверждение.
«Энтузиазма у меня поубавилось», – писал Гёдель. Причина его разочарования, по словам финского философа Яна фон Плато, та же, которую ранее выявили Гильберт и Брауэр: «Основания математики» в конечном счете не смогли обосновать фундамент математики с помощью формальных доказательств.
Так что Гёдель движется дальше. Вскоре он уже читает работу Гильберта, зарывшись в страницы книги под названием
Grundzüge der theoretischen Logik
(«Основы теоретической логики»), которая была опубликована в начале 1928 года и частично основана на лекциях Давида Гильберта о логицизме, прочитанных в последние дни Великой войны.
Среди прочего, книга описывает интересные математические вопросы, на которые нужно найти ответ. Один из них – доказательство полноты логики первого порядка, или «логики предикатов». Эта область логики наиболее знакома большинству из нас – она, по сути, включает утверждения, логические
связки
вроде «и» и «или», а также кванторы вроде «существует» и «для каждого». Доказать
полноту