Страница 236 из 284
логики предикатов означает показать, что все, что можно доказать с использованием этих связок первого порядка и кванторов, на самом деле истинно. Причина, по которой Гильберт описал эту проблему в своей книге 1928 года, состоит в том, что она должна была послужить опорой для одного из его важнейших допущений формализма: что все аксиоматические системы полны в том смысле, что они достаточно мощны, чтобы позволить вывести любой результат.
Это, разумеется, возвращает нас к фундаментальному убеждению Гильберта, что «все может быть решено» – к его безудержной вере в решения, которую он впервые описал в Париже в 1900 году и которая стала темой его прощальной лекции в Кенигсберге. Это сильное убеждение: если вы можете логически сформулировать проблему и потратить на нее достаточно времени и сил, вы в конечном итоге решите ее. И Гильберт – истинно верующий. Весь смысл его программы формализма в 1920-х годах – стремление достичь состояния разрешимости. И важный первый шаг на этом пути – доказать полноту логики первого порядка.
Впрочем, для молодого Гёделя это странный вызов, поскольку в 1928 году все и так предполагают, что логика первого порядка полна. Но Гильберт знает: это еще нужно доказать. Ему нужна эта уверенность, твердая как скала, чтобы двигаться дальше. Мало кто стал бы утруждать себя геркулесовым трудом исчерпывающего доказательства того, что и так считается истиной, – и еще меньше людей знали бы, как это сделать. Но Гёдель подхватывает эстафету. Когда год спустя, в 1929 году, появляется его докторская диссертация, он делает именно то, о чем просил Гильберт: доказывает полноту логики предикатов.
Гильберт ликует. Для его программы это отличный знак. Работа сделана всего за год – да еще кем, простым аспирантом! Он впечатлен. Теперь он может удалиться на покой с чувством удовлетворения: пока он уходит в тень, его программа будет процветать.
Но несколько месяцев спустя, на той же самой неделе, когда он произносит в Кенигсберге свою речь «мы должны знать и будем знать», на Второй конференции по эпистемологии точных наук проходит сессия вопросов и ответов. Она следует за панелью, объединившей три доклада ведущих ученых из трех главных лагерей Великой математической войны: формализма, логицизма и интуиционизма. Гёдель встает во время этой сессии и входит в историю. Он озвучивает результат, которого никто не ждет: классическая
логика
полна, говорит он, но классическая
математика
неполна.
Ему всего 24 года, но он вот-вот станет намного старше.
* * *
За десять дней до конференции Гёдель встречается со своим другом Рудольфом Карнапом в кафе «Рейхсрат» в Вене. Они оба направляются в Кенигсберг, и, обсуждая предстоящую поездку, Гёдель рассказывает Карнапу, о чем он думал. Карнап с трудом понимает его. Похоже, то же самое происходит и с большинством людей на конференции, когда десять дней спустя Гёдель встает и сбрасывает свою «бомбу»: существуют истинные утверждения, которые вы можете сделать, используя логические инструменты, созданные Расселом и Уайтхедом в «Основаниях математики», говорит Гёдель толпе. Но некоторые из них ни доказуемы, ни опровержимы с помощью тех же инструментов.
Гёдель говорит, что можно создать истинную формулу, которая утверждает о самой себе, что она не может быть доказана – что-то вроде «Это утверждение не может быть доказано». Такое утверждение может быть доказано только если оно, по сути, само является ложью. Но так как мы начинаем с предпосылки, что это истинное утверждение, мы знаем, что это не так. Тогда, поскольку утверждение истинно по определению и оно утверждает, что не может быть доказано, это показывает, что классическая математика неполна. Почему? Потому что она содержит по крайней мере одно утверждение P, для которого ни P, ни ¬P (не-P) не могут быть формально доказаны. По сути, это и есть идея того, что станет известно как теорема Гёделя о неполноте, которая принесет ему вечную славу. Он также разрабатывает вторую теорему о неполноте, которая гласит, что, если система непротиворечива, ее непротиворечивость не может быть доказана с использованием ее же собственных средств.
Результаты Гёделя становятся полным шоком. Никто и не подозревал, что можно фактически доказать существование неразрешимых проблем. И его формулировка неполноты – это момент исключительной важности в трехтысячелетней истории логики. Некоторые называют его самым важным логиком со времен Аристотеля (хотя то же самое иногда говорят о Расселе, а до него – о Фреге).
В последующие дни и недели быстро распространяются слухи о революционном открытии. «Что происходит с г-ном Гёделем? – пишет немецкий философ Генрих Шольц другу Гёделя Карнапу в начале 1931 года. – Я слышу всякие волнующие вещи, но не могу понять, в чем суть».
Он не одинок. Какой бы масштабной и гениальной ни была работа Гёделя, она также «очень запутанная и трудная для понимания», по словам британского философа Дж. Р. Лукаса в 1961 году. Формальный протокол встречи в Кёнигсберге упоминает о словах Гёделя лишь вскользь, несомненно, потому, что их значимость в тот момент не была оценена по достоинству. Но по мере того, как весть разносится, а месяцы идут, люди начинают обдумывать, изучать и неохотно, пусть и с недоумением, принимать его работу. Она в высшей степени технична, использует причудливые методы и приходит к ошеломляющим, радикальным и неожиданным выводам – настолько, что одни встречают неполноту с подозрением и ужасом. Других же просто тошнит.
«Поразительный и обескураживающий»
Две теоремы Гёделя, по сути, ставят крест на идее Гильберта «Мы можем знать и будем знать». Они сдувают пафос формализма и разбивают надежды логицизма обеспечить математике надежный фундамент. Неполнота, вкратце, убивает кризис оснований и завершает спор смятением и бесславием. Великая математическая война на самом деле не выиграна – она проиграна. Потеряна способность доказывать все сущее под математическим солнцем. Потеряно обещание логицизма найти логические корни математики. И превыше всего – потерян интерес к этим основаниям.