Страница 31 из 89
в) Какова вега этой позиции?
3) Ваш клиент купил опцион $10 млн номинала 1,2600 USD пут (CHF колл) и купил хедж $5 млн.
а) Если бы вместо этого он купил опцион USD колл с номиналом $10 млн и продал бы хедж $5 млн, изменилось бы поведение его позиции?
б) Учитывая прибыльность этих двух позиций, что вы думаете об их P&L и тетах?
в) Поскольку процентные ставки по долларам выше, чем по франкам, клиент получит дополнительный доход на первой позиции. Принимая во внимание разницу в прибыли, должны ли теты быть разными?
4) Клиент открывает позицию, которая будет стоить ему $1 млн. Какой срок и какую дельту ему следует выбрать, если он хочет, чтобы в конце срока его позиция:
а) хорошо сохранила стоимость;
б) имела большой леверидж?
5) Если премия опциона, истекающего через 306 дней, равна 197, какова премия опциона, истекающего через 182 дня?
6) Если тета опциона, истекающего через 63 дня, равна –0,7, какова тета опциона, истекающего через 153 дня?
Ответы
1) а) Должны быть примерно одинаковы по цене.
б) Должен потерять около 50 % стоимости за последнюю неделю!
2) а) 2 млн;
б) в два раза больше;
в) такая же.
3) а) Получится точно такая же позиция.
б) Такие же. Для получения одинакового дохода надо понести одинаковые затраты.
в) Да. Тета позиции, у которой лучше вероятность заработать, должна быть больше. В противном случае возможен арбитраж, где две позиции с одинаковой доходностью имеют разные издержки.
4) а) Более длинный срок, ближе к atm;
б) более короткий срок, опцион с маленькой дельтой (otm).
5) 151,92 ÷ 197 × √(182 ÷ 306).
6) 0,45 ÷ (−0,7) ÷ √(153 ÷ 63).
15. Гамма
Гамма – это ускорение. В опционах ускорение получают в обмен на амортизацию премии. Теория как бы говорит: «раз уж осталось недолго жить – вот вам шанс заработать по ускоренной программе».
1. Основные свойства гаммы
Вспомним изученный пример. Представьте, что вы едете со скоростью 30 миль в час (дельта). Затем вы ускоряетесь до 35 миль в час. Если, выражаясь опционной терминологией, ваша скорость (изменение расстояния со временем) в любой момент времени – это дельта, тогда ускорение на 5 миль в час (35–30 миль в час) – это гамма. Гамма – это ускорение цены опциона (ускорение изменения премии) по мере изменения цены базового актива (вторая производная премии опциона по отношению к цене базового актива). А для практического использования гамма – это изменение дельты по мере движения базового актива.
Закрепим концепцию еще раз. Дельта показывает изменение цены опциона по отношению к изменению цены базового актива, т. е. она измеряет скорость изменения цены опциона при изменении цены базового актива на один пункт.
Но один и тот же опцион имеет разные значения дельты при разных уровнях цены базового актива. Гамма как раз и измеряет скорость, с которой изменяется дельта по мере изменения цены базового актива. Другими словами, гамма показывает, насколько изменится дельта при изменении цены spot/cash на один пункт.
Например, при отсутствии гаммы изменение цены базового актива на 2 пункта приведет к изменению премии в размере, в два раза большем, чем при изменении цены на 1 пункт. Но если имеет место гамма-эффект, то при изменении цены spot на первый пункт стоимость опциона может вырасти на 10 %, а при изменении цены spot на второй пункт – на 25 %, т. е. рост ускоряется. Гамма этого опциона равна (25 − 10) ÷ 10 = 1,5.
Гамма измеряется в процентах. Гамма 10 % означает, что опцион с дельтой 50 будет иметь дельту 51, если курс spot вырастет на 10 pips.
2. Важнейшие свойства гаммы
1) Премия опционов с большей гаммой изменяется больше при изменении цены базового актива.
2) Опционы atm («при своих») имеют наибольшую гамму. Чем дальше дельта от 50 % (atm), тем меньше гамма опциона. Например, опционы с дельтой 75 и 25 имеют близкие значения гаммы.
3) У краткосрочных опционов гамма больше, чем у долгосрочных.
4) Поэтому премия долгосрочных опционов изменяется с изменением базового актива почти как спот (фьючерс): гаммы почти нет.
5) Два опциона с одинаковыми дельтами, но разными гаммами будут вести себя по-разному: у опциона с большей гаммой премия будет изменяться быстрее, чем у опциона с меньшей гаммой (в рамках одного дня с неизменной волатильностью).
6) Чем больше гамма, т. е. чем больше шанс роста стоимости опциона, если рынок движется в вашем направлении, тем больше вам придется заплатить за него. Этот платеж выражается в большей амортизации премии – тета. Таким образом, тета опциона будет расти по мере роста его гаммы. Другими словами, если стоимость вашей позиции будет быстро расти, когда вы угадали, то она же будет быстро падать (под влиянием амортизации), если немедленно не произойдет нужного вам колебания рынка (см. табл. 15.2, иллюстрирующую пп. 2–6).
3. «Короткая» и «длинная» гамма
Позиция называется длинной на гамму (long gamma), если при движении spot ее стоимость увеличивается (опционы куплены) или короткой на гамму (short gamma), если при движении spot ее стоимость уменьшается (позиция, где опционы проданы).
Это определение относится только к захеджированной позиции, т. к. фраза «при движении spot ее стоимость увеличивается» подразумевает движение в любом направлении, что предполагает захеджированную позицию.
Вопросы
a) Знак дельты означает, что хедж против колл всегда продается. Чем выше USD/CHF, тем больше процент номинала (дельты) подлежит продаже, чтобы сделать позицию «дельта-нейтральной». При движении вниз вы должны откупать проданный ранее хедж, так как дельта опциона падает, но при этом позиция spot остается проданной против колл опциона.
б) Знак плюс в позиции гамма значит, что вы купили опцион.
в) Изменение дельты не объясняется гаммой! −495 000 − 282 740 не равно −640 730, а −495 000 + 282 740 не равно −358 802! Это происходит из-за эффекта гамма/тета. Гамма/тета возникает из-за того, что за ночь опцион теряет часть стоимости и его гамма возрастает или падает, т. е. гамма/тета отслеживает влияние теты на гамму опциона.
г) Опционные системы могут оценивать дельту на сегодня, а гамму на завтра! Как же понять, какой перед нами отчет: сегодняшний или завтрашний? Обратимся к центральной строке таблицы:
Она показывает, что расчет проводится на один день вперед, т. к. если спот останется на данном уровне, позиция теряет $446 (увядание). Если бы увядание было равно 0, это значило бы, что расчет ведется на сегодняшний день, и тогда эффект гамма/тета был бы равен 0, а следовательно, дельта + гамма были бы равны новой дельте[54].
1) У какого из двух опционов быстрее растет стоимость, когда курс spot идет вверх?
2) У какого из опционов дельта растет быстрее (гамма больше), когда курс spot идет вверх?
3) Если рассматривать 1,2418 как курс spot, при котором опцион становится atm, что происходит с абсолютной величиной гаммы 1-недельного опциона:
а) какова тета опциона?
б) по мере того, как курс spot уходит от центра диапазона?
в) что вы можете сказать о гамме при уровнях 1,2707 и 1,2130? Какой из пунктов предыдущей дискуссии иллюстрирует данный пример?