Страница 26 из 89
а) премия какого опциона выросла быстрее;
б) как ведут себя теты этих опционов?
Ответы
1) а) Временная стоимость 1,2500 колл составляет 100, т. к. это atm опцион и не имеет внутренней стоимости.
б) Внутренняя стоимость 1,2600 пут составляет 100 pips, т. к. он на 100 pips «в деньгах». Таким образом, временная стоимость составляет 50 (премия – внутренняя стоимость = 150–100).
2) а) 50 pips; временная стоимость 1,2600 пут составляет 50 pips, временная стоимость опционов колл и пут с одинаковой ценой исполнения и сроком должна быть одинаковая;
б) вы купите захеджированный 1,2600 пут и продадите захеджированный 1,2500 пут.
3) Вы купите позицию с высокой гаммой.
4) Вы купите позицию с высокой вегой.
5) За временную стоимость опциона отвечает тета.
6) Это должно привести к росту ожидаемой волатильности, т. к. рынок ожидает увеличения волатильности.
7) Чтобы ответить на этот вопрос, надо помнить, что дельта показывает изменение премии опциона по отношению к изменению цены базового актива на один пункт. Гамма измеряет скорость, с которой изменяется дельта, т. е. ускорение изменения размера премии. Таким образом, изменение премии ускоряется у опциона с более высокой гаммой быстрее, чем у опциона с более низкой гаммой. Поэтому и внутренняя стоимость опциона с более высокой гаммой будет меняться быстрее.
8) Временная стоимость. Например, когда спот находится на уровне 1,3000, внутренняя стоимость опциона 1,2500 USD колл составляет 500 pips независимо от того, какой уровень волатильности ожидается рынком. Тем не менее рост ожидаемой волатильности означает, что рынок ожидает, что (хеджированная) позиция принесет больше прибыли. Более высокая вероятность заработать стоит большей опционной премии. Поскольку внутренняя стоимость не меняется (при неизменности уровня spot), премия растет за счет роста временной стоимости опциона.
9) Тета вырастет. Если временная стоимость опциона выросла (как в предыдущем примере), в течение того же периода времени надо будет амортизировать более высокую премию. Таким образом, коэффициент амортизации (тета) увеличится.
10) а) Одинаковая. Поскольку шансы заработать деньги в конце срока, измеренные параметром дельта, одинаковы для опционов 30 дельта колл и 30 дельта пут, их временная стоимость должна быть одинакова.
б) В упражнении 2 мы утверждали, что шансы заработать на дельта-хеджированном опционе колл и дельта-хеджированном опционе пут (с одинаковой ценой исполнения и сроком) равны. Это означает, что дельта-хеджированный опцион колл с дельтой 70 должен принести такую же прибыль, как дельта-хеджированный опцион пут с дельтой 30. В упражнении 10 а) мы видели, что опцион колл с дельтой 30 и опцион пут с дельтой 30 должны стоить одинаково. Таким образом, премия (временная стоимость) опциона 1,2700 колл и опциона 1,2300 пут должна быть одинаковой. Поскольку и опцион колл и опцион пут истекают в один день, время на амортизацию премии одинаково. Таким образом, коэффициенты амортизации (теты) одинаковые.
11) а) Премия опциона А чувствительнее к ожидаемой волатильности, что подтверждается более высокой вегой.
б) Тета опциона А увеличится больше. Поскольку оба опциона истекают в один день, время на амортизацию премии одинаково. Но т. к. премия опциона А теперь больше из-за роста ожидаемой волатильности, коэффициент амортизации (тета) должен быть больше.
Дополнительная информация к главе 11
Немного об истории опционов
Еще Аристотель упоминал опционы в «Политике» как «универсально применимый» финансовый инструмент. Опционы активно использовались и во время тюльпановой мании в Голландии в 1630-х гг. Уже тогда использовались и коллы, и путы. В США опционами начали торговать на Нью-Йоркской фондовой бирже в 1790-х гг.
Луи Башелье первым попытался найти математический подход к оценке опционов в 1900 г. Решение было найдено в 1970 г. Майроном Шолцем и Фишером Блэком, с помощью Роберта Мертона. Разработанный ими метод позволял рассчитать «справедливую» премию за европейский опцион колл на акции. Опционы к тому моменту использовались уже столетиями, но солидные издания не проявляли интереса к публикации статьи Блэка и Шолца на протяжении почти трех лет! Их публикация совпала с открытием в 1973 г. Чикагской фьючерсной биржи, где идея нашла своих поклонников, и к 1978 г. ежедневный оборот составлял уже 100 000 контрактов[39].
В основе метода Блэка и Шолца лежит принцип паритета опционов пут и колл, который мы обсуждали ранее. В соответствии с этим принципом, если цена акции идет вверх, то же самое происходит и с ценой опциона колл, хотя и не обязательно на ту же величину. Таким образом, чтобы нивелировать потери на опционе, необходимо иметь некое количество акций (дельта!), балансирующих опционную позицию. За счет постоянной коррекции количества акций (процесс перехеджирования), которые держит инвестор на протяжении срока жизни опциона, должна достигаться безрисковая позиция. Это означает, что прибыль от покупки опциона колл будет полностью покрыта затратами на хеджирование акциями.
Однако модель Блэка – Шолца основана на ряде допущений. Например, нет никаких предположений относительно направления рынка: предполагается, что рынок колеблется случайным образом, и вероятность роста равна вероятности падения. Также предполагается, что цены движутся без разрывов. Например, после 100 может быть 99 или 101, но никак не 80 или 104. Следовательно, если строить график плотности вероятностей колебания цен закрытия рынка в течение некоторого времени, то получится кривая в форме колокола с более широкой правой стороной, известная также как логнормальное распределение[40].
Еще одно важное допущение состоит в том, что не только цена базового актива имеет нормальное распределение, но и рыночная волатильность зафиксирована.
В 1976 и 1979 гг. Кокс, Росс и Рубинштейн опубликовали собственную модель ценообразования опционов. Это была первая модель, которая могла применяться для американских опционов, предусматривающих возможность досрочного исполнения.
В 1982 г. Гарман и Колхаген дополнили модель Блэка – Шолца, чтобы она могла применяться для валютных опционов. Новая модель учитывала тот факт, что на цену опциона влияют две процентные ставки, а не одна.
В дальнейшем было внесено множество других дополнений. Сейчас на многих рынках действуют модели «новых поколений». Часть из них уточняет старые модели. Другие обходят нереальные предположения, заложенные в ранних вариантах, например, учитывают, что рыночная волатильность не распределена нормально.
В 1994 г. Дерман и Кани разработали модель, базирующуюся на биномиальном дереве, ранее использовавшуюся для долгосрочных американских опционов на акции, для оценки барьерных опционов в условиях кривой волатильностей (каждому периоду соответствует свой уровень волатильности). Постепенно биномиальные модели эволюционировали в триномиальные, дав возможность более точной оценки премий опционов.
* * *
Однако большинство допущений, на которых базируются модели, нарушаются рынками. Следовательно, вводимые в модель данные отличаются от идеализированных допущений, сделанных Блэком и Шолцем, чтобы облегчить вычисления на практике:
• Волатильность и процентные ставки изменяются с течением времени, причем зачастую достаточно хаотично, т. е. они не только не статичны, но и не распределены нормально.
• Существует множество случаев, когда движение цен не соответствует логнормальному распределению. Если происходит непредвиденное событие, прерывается рыночный тренд и появляются ценовые разрывы.
• Трансакционные издержки в виде bid/ask спреда и комиссионных (которые не учитываются в моделях) также являются важным фактором. Покупка и продажа опционов обходятся дороже, чем покупка и продажа на рынке spot. Цена опциона включает три спреда: прокотированный опционным дилером в терминах ожидаемой волатильности; прокотированный дилером на рынке spot и прокотированный дилером на форвардном рынке. В цене на рынке spot всего лишь один спред.