Страница 6 из 8
откуда x = 36. Третий луг может прокормить в течение 18 недель 36 быков.
Перестановка часовых стрелок
ЗАДАЧА
Биограф и друг известного физика А. Эйнштейна А. Мошковский, желая однажды развлечь своего приятеля во время болезни, предложил ему следующую задачу (рис. 6):
Рис. 6
«Возьмем, – сказал Мошковский, – положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении большая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы все же правильные показания. Но в другие моменты, – например, в 6 часов, взаимный обмен стрелок привел бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показывает 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие положения, что замена одной другою дает новое положение, тоже возможное на правильных часах?
– Да, – ответил Эйнштейн, – это вполне подходящая задача для человека, вынужденного из-за болезни оставаться в постели: достаточно интересная и не слишком легкая. Боюсь только, что развлечение продлится недолго: я уже напал на путь к решению.
И, приподнявшись на постели, он несколькими штрихами набросал на бумаге схему, изображающую условие задачи. Для решения ему понадобилось не больше времени, чем мне на формулировку задачи…»
Как же решается эта задача?
РЕШЕНИЕ
Будем измерять расстояния стрелок по кругу циферблата от точки, где стоит цифра 12, в 60-х долях окружности.
Пусть одно из требуемых положений стрелок наблюдалось тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры 12 на х делений, а минутная – на у делений. Так как часовая стрелка проходит 60 делений за 12 часов, т. е. 5 делений в час, то х делений она прошла за часов. Иначе говоря, после того как часы показывали 12, прошло часов. Минутная стрелка прошла у делений за у минут, т. е. за часов. Иначе говоря, цифру 12 минутная стрелка прошла часов тому назад, или через
часов после того, как обе стрелки были на двенадцати. Это число является целым (от нуля до 11), так как оно показывает, сколько полных часов прошло после двенадцати.
Когда стрелки обменяются местами, мы найдем аналогично, что с двенадцати часов до времени, показываемого стрелками, прошло
полных часов. Это число также является целым (от нуля до 11).
Имеем систему уравнений
где m и n — целые числа, которые могут меняться от 0 до 11. Из этой системы находим:
Давая m и n значения от 0 до 11, мы определим все требуемые положения стрелок. Так как каждое из 12 значений m можно сопоставлять с каждым из 12 значений n, то, казалось бы, число всех решений равно 12 · 12 = 144. Но в действительности оно равно 143, потому что при m = 0, n = 0 и при m = 11, n = 11 получается одно и то же положение стрелок.
При m = 11, n = 11 имеем:
х = 60, y = 60,
т. е. часы показывают 12, как и в случае m = 0, n = 0.
Всех возможных положений мы рассматривать не станем; возьмем лишь два примера. Первый пример:
т. е. часы показывают 1 ч мин; в этот момент стрелки совмещаются; их, конечно, можно обменять местами (как и при всех других совмещениях стрелок).
Второй пример:
Соответствующие моменты: 8 ч 28,53 мин и 5 ч 42,38 мин.
Число решений мы знаем: 143. Чтобы найти все точки циферблата, которые дают требуемые положения стрелок, надо окружность циферблата разделить на 143 равные части: получим 143 точки, являющиеся искомыми. В промежуточных точках требуемые положения стрелок невозможны.
Совпадение часовых стрелок
ЗАДАЧА
Сколько есть положений на правильно идущих часах, когда часовая и минутная стрелки совмещаются?
РЕШЕНИЕ
Мы можем воспользоваться уравнениями, выведенными при решении предыдущей задачи: ведь если часовая и минутная стрелки совместились, то их можно обменять местами – от этого ничего не изменится. При этом обе стрелки прошли одинаковое число делений от цифры 12, т. е. х = у. Таким образом, из рассуждений, относящихся к предыдущей задаче, мы выводим уравнение
где m — целое число от 0 до 11. Из этого уравнения находим:
Из двенадцати возможных значений для т (от нуля до 11) мы получаем не 12, а только 11 различных положений стрелок, так как при m = 11 мы находим x = 60, т. е. обе стрелки прошли 60 делений и находятся на цифре 12; это же получается при m = 0.
Искусство отгадывать числа
Каждый из вас, несомненно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего характера: задумай число, прибавь 2, умножь на 3, отними 5, отними задуманное число и т. д. – всего пяток, а то и десяток действий. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число.
Секрет «фокуса», разумеется, очень прост, и в основе его лежат все те же уравнения.
Пусть, например, фокусник предложил вам выполнить программу действий, указанную в левой колонке следующей таблицы:
Затем фокусник просит вас сообщить окончательный результат и, получив его, моментально называет задуманное число. Как он это делает?
Чтобы понять это, достаточно обратиться к правой колонке таблицы, где указания фокусника переведены на язык алгебры. Из этой колонки видно, что если вы задумали какое-то число х, то после всех действий у вас должно получиться 4х + 1. Зная это, нетрудно «отгадать» задуманное число.
Пусть, например, вы сообщили фокуснику, что получилось 33. Тогда фокусник быстро решает в уме уравнение 4x + 1 = 33 и находит: х = 8. Иными словами, от окончательного результата надо отнять единицу (33 – 1 = 32) и затем полученное число разделить на 4 (32: 4 = 8); это и дает задуманное число (8). Если же у вас получилось 25, то фокусник в уме проделывает действия 25 – 1 = 24, 24: 4 = 6 и сообщает вам, что вы задумали 6.
Как видите, все очень просто: фокусник заранее знает, что надо сделать с результатом, чтобы получить задуманное число.