Страница 5 из 8
Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то ясно, что в полдня пол-артели скашивает луга. Следовательно, на малом лугу остался нескошенным участок в .
Рис. 4
Если один косец в день скашивает луга, а скошено было , то косцов было 8.
Толстой, всю жизнь любивший фокусные, не слишком хитрые задачи, эту задачу знал от моего отца еще с молодых лет. Когда об этой задаче пришлось беседовать мне с Толстым – уже стариком, его особенно восхитило то, что задача делается гораздо яснее и прозрачнее, если при решении пользоваться самым примитивным чертежом (рис. 4)».
Ниже нам встретятся еще несколько задач, которые при некоторой сообразительности проще решаются арифметически, чем алгебраически.
33
Коровы на лугу
ЗАДАЧА
«При изучении наук задачи полезнее правил», – писал Ньютон в своей «Всеобщей арифметике» и сопровождал теоретические указания рядом примеров. В числе этих упражнений находим задачу о быках, пасущихся на лугу, – родоначальницу особого типа своеобразных задач наподобие следующей.
«Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее в 24 дня, а 30 коров – в 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву луга в 96 дней?»
Задача эта послужила сюжетом для юмористического рассказа, напоминающего чеховский «Репетитор». Двое взрослых, родственники школьника, которому эту задачу задали для решения, безуспешно трудятся над нею и недоумевают:
– Выходит что-то странное, – говорит один из решающих. – Если в 24 дня 70 коров поедают всю траву луга, то сколько коров съедят ее в 96 дней? Конечно, от 70, т. е. коров… Первая нелепость! А вот вторая: 30 коров поедают траву в 60 дней; сколько коров съедят ее в 96 дней? Получается еще хуже: коровы. Кроме того: если 70 коров поедают траву в 24 дня, то 30 коров употребляют на это 56 дней, а вовсе не 60, как утверждает задача.
Рис. 5
– А приняли вы в расчет, что трава все время растет? – спрашивает другой.
Замечание резонное: трава непрерывно растет, и если этого не учитывать, то не только нельзя решить задачи, но и само условие ее будет казаться противоречивым.
Как же решается задача?
РЕШЕНИЕ
Введем и здесь вспомогательное неизвестное, которое будет обозначать суточный прирост травы в долях ее запаса на лугу. В одни сутки прирастает у, в 24 дня – 24у; если общий запас принять за 1, то в течение 24 дней коровы съедают
1 + 24у.
В сутки все стадо (из 70 коров) съедает
а одна корова съедает
Подобным же образом из того, что 30 коров поели бы траву того же луга в 60 суток, выводим, что одна корова съедает в сутки
Но количество травы, съедаемое коровой в сутки, для обоих стад одинаково. Поэтому
откуда
Найдя у (величину прироста), легко уже определить, какую долю первоначального запаса травы съедает одна корова в сутки:
Наконец, составляем уравнение для окончательного решения задачи: если искомое число коров х, то
откуда х = 20.
20 коров поели бы всю траву в 96 дней.
Задача Ньютона
Рассмотрим теперь ньютонову задачу о быках, по образцу которой составлена сейчас рассмотренная.
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: га, 10 га и 24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй – 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?»
РЕШЕНИЕ
Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение недели прирастает травы , а в течение 4 недель того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной
гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю часть, т. е. запас, имеющийся на площади
гектаров.
Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели, из данных для второго луга:
недельный прирост на 1 га = у,
9-недельный прирост на 1 га = 9y,
9-недельный прирост на 10 га = 90у.
Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна
10 + 90y.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели, —
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть одинаковы:
Решив это уравнение, находим
Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели:
гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем: