Страница 7 из 8
Поняв это, вы можете еще более удивить и озадачить ваших приятелей, предложив им самим, по своему усмотрению, выбрать характер действий над задуманным числом. Вы предлагаете приятелю задумать число и производить в любом порядке действия следующего характера: прибавлять или отнимать известное число (скажем: прибавить 2, отнять 5 и т. д.), умножать[1] на известное число (на 2, на 3 и т. п.), прибавлять или отнимать задуманное число. Ваш приятель нагромождает, чтобы запутать вас, ряд действий. Например, он задумывает число 5 (этого он вам не сообщает) и, выполняя действия, говорит:
– Я задумал число, умножил его на 2, прибавил к результату 3, затем прибавил задуманное число; теперь я прибавил 1, умножил на 2, отнял задуманное число, отнял 3, еще отнял задуманное число, отнял 2. Наконец, я умножил результат на 2 и прибавил 3.
Решив, что уже совершенно вас запутал, он с торжествующим видом сообщает вам:
– Получилось 49.
К его изумлению вы немедленно сообщаете ему, что он задумал число 5.
Как вы это делаете? Теперь это уже достаточно ясно. Когда ваш приятель сообщает вам о действиях, которые он выполняет над задуманным числом, вы одновременно действуете в уме с неизвестным х. Он вам говорит: «Я задумал число…», а вы про себя твердите: «значит, у нас есть х». Он говорит: «…умножил его на 2…» (и он в самом деле производит умножение чисел), а вы про себя продолжаете: «теперь 2x». Он говорит: «…прибавил к результату 3…», и вы немедленно следите: 2x + 3, и т. д. Когда он «запутал» вас окончательно и выполнил все те действия, которые перечислены выше, у вас получилось то, что указано в следующей таблице (левая колонка содержит то, что вслух говорит ваш приятель, а правая – те действия, которые вы выполняете в уме):
В конце концов вы про себя подумали: окончательный результат 8x + 9. Теперь он говорит: «У меня получилось 49». А у вас готово уравнение: 8x + 9 = 49. Решить его – пара пустяков, и вы немедленно сообщаете ему, что он задумал число 5.
Фокус этот особенно эффектен потому, что не вы предлагаете те операции, которые надо произвести над задуманным числом, а сам товарищ ваш «изобретает» их.
Есть, правда, один случай, когда фокус не удается. Если, например, после ряда операций вы (считая про себя) получили x + 14, а затем ваш товарищ говорит: «…теперь я отнял задуманное число; у меня получилось 14», то вы следите за ним: (x + 14) – х = 14 – в самом деле получилось 14, но никакого уравнения нет и отгадать задуманное число вы не в состоянии. Что же в таком случае делать? Поступайте так: как только у вас получается результат, не содержащий неизвестного х, вы прерываете товарища словами: «Стоп! Теперь я могу, ничего не спрашивая, сказать, сколько у тебя получилось: у тебя 14». Это уже совсем озадачит вашего приятеля – ведь он совсем ничего вам не говорил! И, хотя вы так и не узнали задуманное число, фокус получился на славу!
Вот пример (по-прежнему в левой колонке стоит то, что говорит ваш приятель):
В тот момент, когда у вас получилось число 12, т. е. выражение, не содержащее больше неизвестного х, вы и прерываете товарища, сообщив ему, что теперь у него получилось 12.
Немного поупражнявшись, вы легко сможете показывать своим приятелям такие «фокусы».
Мнимая нелепость
ЗАДАЧА
Вот задача, которая может показаться совершенно абсурдной:
Чему равно 84, если 8 · 8 = 54?
Этот странный вопрос далеко не лишен смысла, и задача может быть решена с помощью уравнений.
Попробуйте расшифровать ее.
РЕШЕНИЕ
Вы догадались, вероятно, что числа, входящие в задачу, написаны не по десятичной системе, – иначе вопрос «чему равно 84» был бы нелепым. Пусть основание неизвестной системы счисления есть х. Число «84» означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т. е.
«84» = 8х + 4.
Число «54» означает 5х + 4.
Имеем уравнение 8 · 8 = 5х + 4, т. е. в десятичной системе 64 = 5x + 4, откуда x = 12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и «84» = 8 · 12 + 4 = 100. Значит, если 8 · 8 = «54», то «84» = 100.
Подобным же образом решается и другая задача в этом роде:
Чему равно 100, когда 5 · 6 = 33?
Ответ: 81 (девятеричная система счисления).
Уравнение думает за нас
Если вы сомневаетесь в том, что уравнение бывает иной раз предусмотрительнее нас самих, решите следующую задачу.
Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в 10 раз старше сына?
РЕШЕНИЕ
Обозначим искомый срок через х. Спустя х лет отцу будет 32 + х лет, сыну 5 + х. И так как отец должен тогда быть в 10 раз старше сына, то имеем уравнение
32 + х = 10 (5 + х).
Решив его, получаем х = –2.
«Через минус 2 года» означает «два года назад». Когда мы составляли уравнение, мы не подумали о том, что возраст отца никогда в будущем не окажется в 10 раз превосходящим возраст сына – такое соотношение могло быть только в прошлом. Уравнение оказалось вдумчивее нас и напомнило о сделанном упущении.
Курьезы и неожиданности
При решении уравнений мы наталкиваемся иногда на ответы, которые могут поставить в тупик малоопытного математика. Приведем несколько примеров.
I. Найти двузначное число, обладающее следующими свойствами. Цифра десятков на 4 меньше цифры единиц. Если из числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, вычесть искомое число, то получится 27.
Обозначив цифру десятков через х, а цифру единиц – через у, мы легко составим систему уравнений для этой задачи:
Подставив во второе уравнение значение х из первого, найдем:
а после преобразований:
36 = 27.
У нас не определились значения неизвестных, зато мы узнали, что 36 = 27… Что это значит?
Это означает лишь, что двузначного числа, удовлетворяющего поставленным условиям, не существует и что составленные уравнения противоречат одно другому.
В самом деле: умножив обе части первого уравнения на 9, мы найдем из него:
9y – 9x = 36,
а из второго (после раскрытия скобок и приведения подобных членов):
9у – 9x = 27.
Одна и та же величина 9у – 9х согласно первому уравнению равна 36, а согласно второму 27. Это безусловно невозможно, так как 36 ≠ 27.
Подобное же недоразумение ожидает решающего следующую систему уравнений:
Разделив первое уравнение на второе, получаем:
ху = 2,
а сопоставляя полученное уравнение со вторым, видим, что
1
Делить лучше не разрешайте, так как это очень усложнит «фокус».