Страница 97 из 125
,
откуда
th
θ
????
=
β
????
=
Δ????
Δ????
<
1,
что подтверждает правильность предположения о существовании данной системы отсчёта ракеты. Заметьте, что отношение Δ????/Δ???? есть просто та скорость, какой должен обладать в лабораторной системе наблюдатель на ракете, переносящийся от события к событию. Часть а) этого упражнения не содержит такой возможности. Из факта инвариантности интервала следует
(
Δ
????)²
-
(
Δ
????)²
=
(
Δ
????')²
-
0²
=
(
Δ
τ)²
,
так что промежуток времени между этими событиями в данной системе отсчёта ракеты равен интервалу собственного времени между ними. ▲
18. Плоскость обоюдного согласия
Эту задачу можно решить двумя способами: во-первых, путём краткого рассуждения и, во-вторых, путём длинных математических преобразований (!). Рассуждения сводятся к следующему. Плоскость, на которой показания часов лаборатории и ракеты совпадают, должна быть перпендикулярна направлению относительного движения этих систем отсчёта, так как видеть сразу и лабораторные, и ракетные часы синхронизированными друг с другом можно лишь в такой плоскости [см. часть б) упражнения 11]. Однако лабораторная система отсчёта и система ракеты во всех отношениях взаимно равнозначны. Поэтому скорость «плоскости согласия» должна быть одинакова как с точки зрения системы отсчёта ракеты, так и с точки зрения лабораторной системы (разным может быть лишь её направление). Какая промежуточная скорость будет сохранять своё численное значение при переходе от первой системы отсчёта ко второй? Во всяком случае, не β/2. Предмет, движущийся в лабораторной системе со скоростью β/2, будет обладать в системе отсчёта ракеты скоростью, не равной - β/2 (ведь скорости не просто складываются). Однако предмет, движущийся в лабораторной системе так, что его параметр скорости равен θ????/2, будет обладать в системе отсчёта ракеты параметром скорости - θ????/2 (параметры скорости аддитивны). Поэтому скорость движения «плоскости согласия» должна быть равна в лабораторной системе отсчёта β=th ½θ????, если, конечно, такая плоскость существует.
Математические преобразования, дающие тот же результат, состоят в следующем. Положите в преобразованиях Лоренца (36) ????=????'. Исключите затем из них ???? и найдите, чему равно отношение ????/???? — скорость движения плоскости, на которой времена одинаковы. Вы получите (см. табл. 8):
2
sh²
θ
????
????
=
ch
θ
????
-1
=
2
=
th
θ
????
.
????
sh
θ
????
2
sh
θ
????
sh
θ
????
2
2
2
▲
19. Преобразование углов
Обозначим через Δ????' проекцию метрового стержня на ось ????' в системе отсчёта ракеты, а через Δ????' — аналогичную проекцию на ось ????'. Значит, тангенс угла φ' равен tg φ'=Δ????'/Δ????'. В лабораторной системе отсчёта ????-проекция будет оставаться равной прежней ????-проекции в системе ракеты, но ????проекция подвергнется лоренцеву сокращению, согласно выводам упражнения 9. Мы получим
Δ
????
=
Δ
????'
,
где
Δ
????
=
(1
м
)
sin φ'
,
и
Δ
????
=
Δ
????'
√
1-β
????
²
,
где
Δ
????'
=
(1
м
)
cos φ'
,
Отсюда легко вычислить величину тангенса искомого угла в лабораторной системе отсчёта
tg φ
=
Δ????
Δ????
=
tg φ'
√1-β????²
.
Длина метрового стержня, измеренная в лабораторной системе отсчёта, равна
????
=
√
(
Δ
????)²+(
Δ
????)²
.
Подставляя сюда полученные выше значения Δ???? и Δ????, найдём
????
=
√
1-β
????
²
cos²φ'
м
.
Рис. 142. Электрические силовые линии заряженной частицы в системе отсчёта ракеты.
Рис. 143. Электрические силовые линии заряженной частицы в лабораторной системе отсчёта.
Мысленно заменяя электрические силовые линии метровыми стержнями, можно выяснить, как выглядит электрическое поле вблизи заряженной частицы, покоящейся в системе отсчёта ракеты (на рис. 142 изображена картина, наблюдаемая в системе ракеты, а на рис. 143 — картина, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта). Мы считаем, что электрическая сила, действующая на пробный заряд, покоящийся в лабораторной системе отсчёта, пропорциональна плотности электрических силовых линий в том месте, где он находится. Следовательно, на пробные заряды, расположенные вдоль пути движения быстрой заряженной частицы (например, в точке ???? на рис. 143), будет действовать сила, меньшая, чем если бы частица покоилась. В свою очередь на пробные заряды, расположенные в стороне от пути движения быстрой заряженной частицы, будет действовать в момент их наибольшего сближения (например, в точке ???? на рис. 143) сила, превышающая ту, которая действовала бы, если бы частица — источник поля — покоилась. На этом и на подобных ему релятивистских эффектах основывается анализ электрического и магнитного полей в превосходной книге Парселла, выпущенной в издательстве Мак-Гроу Хилл. ▲
20. Преобразование скорости вдоль оси ????
Из условия задачи мы знаем, что для любой пары событий на мировой линии частицы Δ????'=0. Тогда из формул преобразования Лоренца
Δ
????
=
Δ
????'
,
Δ
????
=
Δ
????'
sh
θ
????
,
Δ
????
=
Δ
????'
ch
θ
????
,
откуда можно вычислить компоненты скорости в лабораторной системе отсчёта:
β
????
=
Δ????
Δ????
=
Δ????'
Δ????' ch θ????
=
β????'
ch θ????
,
β
????
=
Δ????
Δ????
=
th
θ
????
.
▲
21. Преобразование направлений скоростей
В системе отсчёта ракеты разности координат даются соотношениями
Δ
????'
=
β'
sin φ'
⋅
Δ
????'
и
Δ
????'
=
β'