Страница 98 из 125
cos φ'
⋅
Δ
????'
.
Найдём значения смещений Δ???? и Δ???? в лабораторной системе отсчёта, пользуясь формулами преобразования Лоренца (42), откуда угол между вектором скорости частицы и направлением относительного движения в лабораторной системе отсчёта оказывается равен
β'
sin
φ'
tg φ
=
Δ
????
=
ch θ
????
.
Δ
????
β' cos φ'+β
????
Отличие полученного угла от угла, найденного в упражнении 19, вытекает из того, что теперь мы рассматривали преобразование скорости — величины, включающей время. В последнем уравнении угол φ стремится к нулю при β????→1, тогда как, напротив, в упражнении 19 мы нашли, что угол наклона метрового стержня по отношению к направлению относительного движения систем стремится к 90°, когда β????→1. ▲
22. Эффект «прожектора» 1)
1) Здесь речь идёт о том пучке лучей, который испущен при единичной мгновенной вспышке. Если бы «прожектор» действовал непрерывно в течение всего времени, его луч, напротив, расширился бы вокруг оси, совпадающей с направлением движения (вперёд или назад—несущественно), концентрируясь с точки зрения неподвижного наблюдателя в перпендикулярном движению «прожектора» направлении (например, на летящем вместе с ним экране). См. в связи с этим упражнение 19. Я благодарен П. И. Филиппову, заметившему этот эффект и обратившему на него моё внимание.—Прим. перев.
В системе отсчёта ракеты проекция на ось ???? пути, пройденного светом вспышки, равна Δ????'=cos φ'⋅Δ????'.
Чтобы найти Δ???? и Δ???? в лабораторной системе отсчёта, воспользуемся формулами преобразования Лоренца (42). Скорость распространения света вспышки β равна единице как в системе отсчёта ракеты, так и в лабораторной системе. Поэтому косинус угла между направлением луча и осью ???? в лабораторной системе даётся выражением
Δ????
Δ????
=
cos φ
=
cos φ'+β????
β???? cos φ'+1
.
Это выражение совпадает с полученным в упражнении 21 в случае, когда β'=1, как можно показать на основании тригонометрических тождеств. Лучи, распространяющиеся в переднее полушарие в системе отсчёта ракеты, обладают углами, меньшими, чем φ'=90°. Из только что полученного выражения следует величина максимального угла для таких лучей в лабораторной системе отсчёта: cos φ=β???? при φ'=90°.
Весь свет, испущенный лампой в её системе покоя в переднее полушарие, собирается в направленном вперёд конусе с таким углом раствора относительно направления движения лампы, если наблюдение проводится из лабораторной системы отсчёта. ▲
23. Парадокс эйнштейновского поезда — подробный пример
Решение дано в тексте.
24. Загадка Эйнштейна
Да, он увидит себя в зеркале. В его системе отсчёта, как и в любой другой инерциальной системе, свет обладает одной и той же скоростью. Своё изображение в зеркале он будет видеть точно таким же, как и при любой другой постоянной скорости движения относительно земли. ▲
25. Парадокс шеста и сарая
Рис. 144. Пространственно-временная диаграмма в системе отсчёта сарая.
Рис. 145. Пространственно-временная диаграмма в системе отсчёта бегуна.
Разрешение этого «парадокса» состоит в том, что в системе отсчёта бегуна передний конец шеста покидает сарай прежде, чем задний конец шеста входит в сарай. Поэтому с точки зрения бегуна шест вообще ни в какой момент времени не находится в сарае целиком. Последовательность событий можно подробнее проиллюстрировать двумя диаграммами пространства-времени (рис. 144 и 145), численные значения длин и моментов времени на которых можно получить из следующих соображений. Так как множитель, описывающий лоренцево сокращение, по условию задачи равен 2, то (см. упражнение 9)
ch θ
????
=
2
.
Поэтому из тождества
ch²θ
-
sh²θ
=
1
следует, что
sh θ
????
=
√
3
.
Отсюда относительная скорость двух систем отсчёта равна
β
????
=
th θ
????
=
√3
2
.
Чтобы найти численные значения, приведённые на рис. 144 и 145, достаточно воспользоваться этими данными, а также тем, что длина шеста в системе отсчёта бегуна равна 20 м, а в лабораторной системе 10 м. ▲
26. Война в космосе
Камень преткновения состоял в понятии одновременности —«в тот момент, когда» (см. также упражнение 11). Точки ???? и ????' могут поравняться друг с другом только в другом месте вдоль траектории относительного движения ракет, а не в точке, где производится выстрел из орудия. Поэтому момент, когда точки ???? и ????' поравнялись друг с другом, может совпадать с моментом выстрела лишь в какой-то одной из двух систем отсчёта. По условию задачи такая одновременность имеет место в системе ????, так что рис. 42 правилен по определению. Но рис. 43 неверен: к тому времени, когда в системе ????' поравняются точки ???? и ????', выстрел уже будет произведена Неверна и подпись под рис. 43: снаряд пролетит мимо ракеты с точки зрения обеих систем отсчёта. ▲
27. Парадокс часов
а) Возраст отправившегося в путешествие Петра будет при его возвращении равен (в годах): 21 (возраст на старте) + 7 (время, проведённое на удаляющейся от Павла ракете ????) + 7 (время, проведённое на приближающейся к Павлу ракете ????), т.е. всего 35 лет.
б) См. рис. 146.
Рис. 146.
в) Исходя из величины относительной скорости, равной 24/25, найдём значение гиперболического косинуса от параметра скорости
ch θ
????
=
√
1-β
????
²
=
25
7
.
Точка, в которой Пётр изменил свою скорость на обратную, имеет в системе отсчёта ракеты ???? координату ????'=0, так как Пётр всё время был в начале координат этой системы; время же, соответствующее этому моменту, равно в системе отсчёта ракеты ????'=7 лет. Из формулы преобразования Лоренца для времени найдём, что момент изменения направления скорости в лабораторной системе отсчёта соответствует
????
=
????' sh
θ
????
+
????' ch
θ
????
=
0+7
⋅
25
7
лет
.
Промежуток времени между расставанием и встречей в лабораторной системе отсчёта вдвое превышает это ????, так что к моменту встречи Павлу исполнится 21 + 25 + 25 = 71 год, и он будет более чем в два раза старше, чем Пётр-путешественник! ▲
28. Предметы, движущиеся быстрее света
а) Когда стержень проходит в своём движении вниз расстояние Δ????=β????Δ????, точка ???? продвигается вдоль оси ???? на расстояние Δ????, даваемое выражением
Δ????
Δ????
=
tg φ
,