Страница 96 из 125
д) Если выбрать в системе ракеты положительное направление оси ????' в направлении относительного движения лабораторной системы, то знак в уравнении (47) изменится на обратный, и это уравнение примет тот же вид, что уравнение (46).
е) Чтобы произвести измерения в нескольких разных местах в системе отсчёта ракеты при ????'=0 (т.е. одновременно в этой системе), необходимо воспользоваться несколькими часами-хронографами. Лучше было бы употребить выражение: «Пусть часы-хронографы на ракете будут расположены так, чтобы каждые из лабораторных часов были рядом с ними в начальный момент ракетного времени (????'=0), и пусть они сфотографируют в этот момент циферблаты лабораторных часов. Тогда на этих фотографиях не все лабораторные часы будут показывать время ????=0». ▲
12.Эвклидовы аналогии
Рис. 140.
а) и б) См. рис. 140. Аналогия проявляется, когда мы сравниваем координаты ???? эвклидовой системы и лоренцевой системы, а также координаты ???? эвклидовой системы и ???? лоренцевой системы. При этом на рис. 140 расстояние ????????' меньше, чем расстояние ????????, что соответствует различию наблюдаемых длин одного и того же движущегося стержня в системах отсчёта ракеты и лаборатории. Подобным же образом, замедление хода часов аналогично различию между значениями координат ????????' и ???????? в двух эвклидовых системах. В эвклидовой геометрии инвариантом является длина стержня, получаемая из значений координат его концов в любой системе. В лоренцевой геометрии инвариант — это интервал между двумя событиями, получаемый из результатов наблюдений в любой инерциальной системе отсчёта.
Рис. 141.
в) См. рис. 141. Точки, для которых ????'=0, не все имеют координату ????=0. Подобным же образом, не все события, происшедшие при ????'=0, будут иметь координату ????=0. ▲
13. Лоренцево сокращение. II
Сосредоточим своё внимание на следующих двух событиях: прохождении концов метрового стержня через начало пространственных координат лабораторной системы. В системе отсчёта ракеты эти события разделены расстоянием минус один метр (минус потому, что лаборатория в системе отсчёта ракеты движется в отрицательном направлении оси ????) и временем, равным (1 м)/(относительная скорость):
Δ
????'
=-
1
м
.
Δ
????'
=
1 м
β????
.
В лабораторной системе оба события происходят в одном и том же месте, но разделены отрезком времени Δ???? который по условию задачи следует положить равным ????/(относительная скорость), где ???? —«длина» метрового стержня, измеренная таким путём в лабораторной системе отсчёта. Подставляя эти величины в формулы преобразования Лоренца (16), выразим Δ???? через относительную скорость:
Δ
????
=
????
β????
=
β????(-1 м)+(1 м)/β????
√1-β????²
.
Отсюда
????
=
√
1-β
????
²
м
,
что и соответствует лоренцеву сокращению, наблюдаемому в лабораторной системе [формула (38)]. ▲
14. Замедление хода часов. II
Согласно условию задачи, Δ????'=0, а Δ????'≠0. Расстояние между двумя событиями в лабораторной системе отсчёта можно вычислить по формуле преобразования Лоренца
Δ
????
=
0
+
Δ
????'
sh
θ
????
.
От нас требуется «измерить» время, прошедшее между этими событиями в лабораторной системе, разделив полученное выше расстояние на скорость движения обеих систем друг относительно друга:
Δ
????
=
Δ????
β????
=
Δ????
th θ????
=
Δ
????'
ch
θ
????
Это и есть формула, описывающая замедление хода часов (44). ▲
15. Формулы преобразования Лоренца со временем в секундах
Просто подставим в формулы (37) ????=????сек/???? и β????=????????/????. Обратные преобразования [(36) или (16)] примут тогда вид
????
=
????'
ch
θ
????
+
????????
сек
'
sh
θ
????
????'+???????? ????сек'
√1-(????????/????)²
,
????
сек
'
+
????
????
????'
????
сек
=
????'
sh
θ
????
+
????
сек
'
ch
θ
????
=
????²
,
????
√
1-(????
????
/????)²
▲
16. Вывод формул преобразования Лоренца
Из первого предположения следует условие ????+????=????+????, из второго — условие ????-????=????-????, а третье предположение даёт β????=????/????. В совокупности из полученных трёх условий найдём ????/????=1, ????/????=????/????=β????. Подставляя эти значения коэффициентов в исходные формулы для ???? и ????, запишите условие инвариантности интервала. Отсюда следует ????=(1-β????²)⁻¹/². Полученные формулы преобразования совпадают с (16). ▲
17. Собственная длина и собственное время
а) Направьте ось ????' вдоль линии, соединяющей рассматриваемые события в лабораторной системе отсчёта. Сделайте предположение, что существует такая система отсчёта ракеты, в которой оба события происходят одновременно. Тогда преобразование Лоренца даёт
Δ
????'
=
0
=-
Δ
????
sh
θ
????
+
Δ
????
ch
θ
????
,
откуда
sh θ????
ch θ????
=
th
θ
????
=
β
????
=
Δ????
Δ????
<
1.
Так как отношение Δ????/Δ???? меньше единицы, относительная скорость наших систем также меньше единицы, что подтверждает правильность предположения о существовании данной системы отсчёта ракеты. Из факта инвариантности интервала следует
(
Δ
????)²
-
(
Δ
????)²
=
(
Δ
????')²
-
0²
=
(
Δ
σ)²
,
так что расстояние между событиями в системе отсчёта ракеты равно собственному расстоянию между этими событиями.
б) Снова направьте ось ???? вдоль линии, соединяющей рассматриваемые события в лабораторной системе отсчёта. Сделайте теперь предположение. что существует такая система отсчёта ракеты, в которой оба события происходят в одном и том же месте. Тогда
Δ
????'
=
0
=
Δ
????
ch
θ
????
-
Δ
????
sh
θ
????