Страница 13 из 125
(
Δ
????)²
-
(
Δ
????)²
=
(
Δ
????')²
-
(
Δ
????')²
=
(
Δ
????ʺ)²
-
(
Δ
????ʺ)²
=
(2
м
)
²
.
(6)
Интервал ???????? имеет одну и ту же величину в системах всех ракет!
Забудем теперь о посланной вспышке, отражателе и о возвращении этой вспышки. Ведь это лишь средства для достижения цели. Они помогли выяснить, какая величина имеет одно и то же значение в различных системах отсчёта. Теперь сосредоточим внимание на этой величине — интервале, оставив в стороне подробности её вывода.
Что одинаково в двух инерциальных системах отсчёта?
Что в них почти одинаково?
Что различной?
Что мы выяснили? Два события, ???? и ???? происходят в одном и том же месте в системе отсчёта ракеты (Δ????'=0), но в разное время (Δ????'=2 м). В лабораторной системе отсчёта эта же пара событий происходит в пространстве на расстоянии Δ????, и, чем быстрее движется ракета, тем больше это расстояние. Этот вывод никого не удивит, и многие с полным правом скажут: «Да это же более чем очевидно!». Удивительно другое. Во-первых, промежуток времени Δ???? между двумя событиями, зарегистрированный в лабораторной системе отсчёта, имеет другую величину, чем зарегистрированный в системе ракеты. Во-вторых, промежуток времени между событиями ???? и ???? по данным, отпечатанным соответствующими двумя хронографами в лаборатории, превышает промежуток времени между теми же двумя событиями, зарегистрированный такими же часами в ракете: Δ???? ≥ Δ????'. В-третьих, пропорция
Δ????
Δ????'
=
⎡
⎢
⎣
1
+
⎛
⎜
⎝
Δ????
2
⎞²
⎟
⎠
⎤½
⎥
⎦
,
в которой оказался увеличенным промежуток времени (см. табл. 5), близка к единице (увеличение очень мало), если мало расстояние, которое прошла ракета в промежутке между событиями ???? и ????. Но если ракета движется очень быстро, разность Δ???? очень велика и пропорция, характеризующая несоответствие двух времён, может быть громадной. В-четвёртых, несмотря на эту только что обнаруженную разницу во времени, зарегистрированном в двух разных системах отсчёта, и несмотря на давно уже известную разницу в пространственном расстоянии между событиями в разных системах отсчёта (Δ???? ≠ Δ????' = 0), существует тем не менее величина, действительно равная в лабораторной системе отсчёта тем же двум метрам промежутка светового времени между событиями ???? и ????, которые были зарегистрированы в системе отсчёта ракеты. Эта величина — интервал
(Интервал)
=
√
(
Δ
????)² - (
Δ
????)²
.
У ракеты может быть очень большая скорость, и тогда Δ???? тоже будет очень большим. Но и Δ???? в этом случае будет очень большим. Более того, величина Δ???? оказывается в точности «подогнанной» к величине Δ????, так что выражение (Δ????)² - (Δ????)² равно (2 м)² вне зависимости от того, чему именно равны порознь Δ???? и Δ????.
Все четыре замечательные идеи частной теории относительности иллюстрируются одной и той же диаграммой
Все перечисленные отношения можно увидеть, взглянув на рис. 13, а. Длина гипотенузы первого прямоугольного треугольника равна Δ????/2 а его основание имеет длину Δ????/2. Утверждение, что выражение (Δ????)² - (Δ????)² обладает универсальной величиной (или, иначе, что (Δ????/2)² - (Δ????/2)² обладает универсальной величиной), значит лишь, что высота этого прямоугольного треугольника строго фиксирована (равна на нашей диаграмме 1 м), с какой бы скоростью ни летела ракета. Но что именно лежало в основе доказательства того, что (Δ????)² - (Δ????)² равняется (2 м)² независимо от скорости полёта ракеты? В основе лежал принцип относительности, согласно которому законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Мы воспользовались здесь этим принципом двумя совершенно различными способами. Во-первых, мы вывели из него заключение, что длины, перпендикулярные направлению относительного движения систем, получаются одинаковыми при измерении в этих системах (лабораторной системе и системе отсчёта ракеты). В противном случае одну систему было бы можно отличить от другой по более коротким поперечным масштабам. Во-вторых, из принципа относительности мы заключили, что скорость света должна быть одинаковой как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты (этот вывод подтверждается экспериментом Кеннеди — Торндайка). А если эта скорость одинакова, то из факта большей длины траектории световой вспышки в лабораторной системе (сумма длин гипотенуз двух треугольников), чем в системе отсчёта ракеты, где свет совершает простое движение взад и вперёд (сумма высот двух треугольников: 1 м вверх и столько же вниз), мы непосредственно заключаем, что время между событиями ???? и ???? в лабораторной системе больше, чем в системе отсчёта ракеты.
Короче говоря, один элементарный треугольник на рис. 13, а изображает сразу 4 замечательные идеи, лежащие в основе всей частной теории относительности: инвариантность длин, поперечных движению; инвариантность величины скорости света; зависимость пространственной и временно'й координат от выбора системы отсчёта; инвариантность интервала.
Парадоксально ли различие между промежутками времени, прошедшего в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты?
Итак, в рис. 13, а вкратце содержится вся частная теория относительности в легко запоминающемся виде. Однако проделанный анализ приводит к тому, что на первый взгляд кажется нелепостью. Какой смысл можно вообще усмотреть в том, что промежуток времени между двумя событиями больше в лабораторной системе отсчёта, чем в системе ракеты? Разве мы не приводили уже в качестве довода, что «длины, перпендикулярные направлению относительного движения систем», одинаковы, «в противном случае одну из систем было бы можно отличить от другой по более коротким поперечным масштабам?» Как же быть в этом случае с разными промежутками времени в двух системах отсчёта? Разве это различие не даст возможности физически провести различие между той и другой системами? И разве возможность такого различия не исключена принципом относительности, утверждающим, что одна инерциальная система отсчёта нисколько не хуже другой?
Сравнение относительности времени (Лоренц) с относительностью выбора направления на «север» (Эвклид)
Рис. 14. Удалённость точки ???? от точки ???? по координате «север—юг» («северное склонение ???? относительно ????») зависит от выбора направления на север.
Чтобы ответить на эти вопросы, вернёмся к притче о землемерах. Возьмём точку ???? на рис. 14. Она расположена на 1 м прямо к северу от другой точки ???? согласно построениям ночного землемера (определение направления на север по Полярной звезде). Рассмотрим теперь положение точки ???? с позиций дневного землемера (ориентация на север по магнитной стрелке). Будет ли разность координат Δ???? между ???? и ???? (на языке землемеров — северное склонение) также равна 1 м в дневной системе? Нет, Δ???? здесь меньше, чем 1 м! Почему же? Дело в том, что высота (Δ????) прямоугольного треугольника короче, чем его гипотенуза (1 м). Значит ли это, что правила триангуляции в дневной системе координат отличаются от этих правил в ночной системе координат? Конечно, нет! Точно так же нет дефектов в конструкции и ходе лабораторных часов, на которые можно было бы списать большую длительность промежутка времени ????????. Это «расхождение» в показаниях лабораторных часов и часов на ракете обусловлено лишь самой природой геометрии пространства-времени. Так уж устроен мир! В табл. 6 проведена параллель между геометрией пространства-времени по Лоренцу и эвклидовой геометрией мира землемеров.