Страница 12 из 125
Подробности о координатах событий ???? и ???? в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты
Лампа даёт вспышку в лабораторной системе в нулевой момент времени в начале системы координат ????, ????, ???? (на рисунке заштриховано). Пролёт ракеты мимо этого места приурочен к такому времени, что и для ракеты вспышка имеет место также в начале координат (заштриховано снова) и в нулевой момент. Подытожим данные о координатах события ???? (акт излучения):
????
????
=0,
????
????
=0,
????
????
=0,
(в лабораторной системе),
????
????
́ =0,
????
????
́ =0,
????
????
́ =0,
(в системе ракеты).
Отражатель укреплён на часах ракеты на расстоянии 1 м прямо над началом координат.
В системе ракеты приём вспышки осуществляется в том же месте, где произошло её излучение. Свет вспышки прошёл замкнутый путь длиной 2 м, и на этот путь потребовалось 2 м светового времени. Поэтому координаты события ???? (акт приёма вспышки) в системе отсчёта ракеты равны:
????
????
́ =0,
????
????
́ =0,
????
????
́ =2
м
.
Более содержательны не абсолютные значения координат, а разности координат событий ???? и ????:
Δ
????
́
=
????
????
́ -????
????
́
=
0,
Δ
????
́
=
????
????
́ -????
????
́
=
0,
Δ
????
́
=
????
????
́ -????
????
́
=
2
м
.
В лабораторной системе отсчёта приём вспышки происходит не в начале координат, а на расстоянии Δ???? вправо от него. Если скорость ракеты велика, то велико и расстояние Δ????; если скорость мала, то мало и Δ????. (На рисунке это расстояние равно 1 м, однако дальнейшие расчёты справедливы для любого расстояния). В лабораторной системе отсчёта свет распространяется по гипотенузам двух прямоугольных треугольников, основание каждого из которых равно Δ????/2, а высота 1 м. Полная длина пути поэтому получается равной
2
√
1+(
Δ
????/2)²
Вспомним теперь, что скорость света одинакова как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты (что хотя и неправдоподобно, но является законом природы!). Поэтому разность времён акта излучения и акта приёма вспышки в лабораторной системе отсчёта выражается такой же формулой
Δ
????
=
????
????
-
????
????
=
2
√
1+(
Δ
????/2)²
(4)
(в метрах светового времени).
Промежуток времени между событиями ???? и ???? неодинаков для наблюдателей в лаборатории и на ракете
Почему этот промежуток времени превышает 2 м? Дело в том, что гипотенуза прямоугольного треугольника на рис. 13,а больше, чем его высота. Поэтому невозможно избежать заключения о том, что промежуток времени между актами излучения и приёма вспышки неодинаков в двух инерциальных системах отсчёта.
Таблица 5.
Разности координат событий приёма и посылки сигнала
Лабораторная система
отсчёта
Система отсчёта
ракеты
????
приём
-????
излуч
=
Δ
????
????
приём
'-????
излуч
'=
Δ
????'
=0
????приём-????излуч=Δ????=
=2√1+(Δ????/2)²
????
приём
'-????
излуч
'=
Δ
????'
=2
м
В табл. 5 сведены разности как пространственных, так и временной координат событий ???? и ????. Промежуток времени различен в разных инерциальных системах отсчёта; различен и промежуток, разделяющий события в пространстве,— картина аналогична той, когда разности координат Δ???? и Δ???? для двух городских ворот были разными для дневного и ночного землемеров! Но для этих землемеров существовала комбинация координат (квадрат расстояния между воротами), одинаковая для них обоих:
(Расстояние)
²
=
(
Δ
????
)
²
+
(
Δ
????
)
²
=
(
Δ
????'
)
²
+
(
Δ
????'
)
²
.
Есть ли подобная комбинация координат наших двух событий, которая была бы одинаковой в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты? Ответ на этот вопрос: да! Квадрат интервала
(Интервал)
²
=
(
Δ
????
)
²
-
(
Δ
????
)
²
=
(
Δ
????'
)
²
-
(
Δ
????'
)
²
=
(2
м
)
²
(5)
— именно такая величина, как можно проверить путём непосредственной подстановки величин, фигурирующих в табл. 5.
Интервал между между событиями ???? и ???? имеет одну и ту же величину как для наблюдателя в лаборатории, так и на ракете
Взятая нами для исследования двух событий система отсчёта ракеты является довольно-таки специальной, так как и акт излучения, и акт приёма сигнала происходят в ней в одной и той же точке. На рис. 13, в изображён путь отражённого луча в системе отсчёта второй ракеты (система «сверхракеты»), движущейся относительно лабораторной системы отсчёта ещё быстрее, чем первая ракета. В системе этой второй ракеты разность координат ???? двух событий — актов излучения и приёма вспышки (дважды штрихованные величины) ????????ʺ=????????ʺ-Δ????ʺ — отрицательна, ибо акт приёма осуществляется в этой системе отсчёта на отрицательной оси ????. Тем не менее (-Δ????ʺ)²=(Δ????ʺ)² и к тому же можно использовать свойства прямоугольных треугольников на рис. 13, в, из всего этого следует, что полная длина пути светового луча в системе отсчёта второй ракеты даётся выражением 2√1+(Δ????ʺ/2)², которое имеет тот же вид, что и в лабораторной системе. Величина скорости света в системе отсчёта второй ракеты должна быть равна ????, как и в системе первой ракеты. Отсюда найдём время, прошедшее между актами излучения и приёма вспышки:
????
????
ʺ-????
????
ʺ
=
Δ
????ʺ
=
2√
1+(
Δ
????ʺ/2)²
.
Следовательно,
(
Δ
????ʺ)²
-
(
Δ
????ʺ)²
=
(2
м
)
²
,
так что вообще