Страница 10 из 16
Причина в непропорциональности массы эталона и камня для взвешивания. Можно было взять в качестве эталона «лёгкий» камень, и, возможно, «не распределённая» куча была бы меньше. Предчувствие подсказывает – это не так: куча была бы абсолютно того же размера.
Ох, уж этот Фантастический Мир.
Рациональные числа
Если под числом «10» понимаем группу из количества чисел системы счисления, то при делении эталона (числа «1») на количество чисел в системе счисления, мы получим десятичные доли эталона. Теперь это уже не камни – камешки.
На одной чаше весов эталон массы «1», на другой количество камешек, в количестве чисел в системе счисления (10 камешков). Они тождественны между собой. Для обозначения каждого из них необходимо обозначение.
Не будем изобретать что-то новое. Если полная группа всех цифр системы счисления обозначалась – «10», то, по аналогии, каждый камешек можно обозначить – «01». Это выглядит так: «1=01+01+01+01+01+01+01+01+01+01».
Поделим камешек на 10 тождественных частей. Это уже песчинки – настолько они маленькие. Каждая песчинка – десятая часть числа «01» или тысячная доля эталона «1».
«01=001+001+001+001+001+001+001+001+001+001».
«1=001+001+…+001+001+001+001».
Количество песчинок в данном случае – сто.
Всё логично и точно вымерено – не подкопаешься. Остаётся вопрос: почему общепринятая схема написание чисел отличается от схемы, предложенной нами? Причина следующая. Попробуем проследить, как будут выглядеть разные суммы камней.
001 – это одна сотая часть эталона.
01 – это одна десятая часть эталона.
1 – это, собственно, сам эталон.
10 – это десять эталонов.
«Одна сотая часть эталона + одна десятая часть эталона» как обозначить? По логике: 11.
А «эталон + десять эталонов»? Тоже 11.
Появляется некоторое противоречие – одна и та же группа символов обозначает разные числа. Выход один – внести в запись «метку». Исторически этой меткой являлась «запятая» или «точка». В таком случае, одиннадцать обозначается – 11. , а одиннадцать сотых – .11.
Как некрасиво получилось в последнем числе: две единицы окружённые точками. Неприметную точку можно и не заметить – настолько она мала.
Подчеркнём принадлежность к десятичным числам символом «0». Получится: 0.11.
С числом «одиннадцать» можно поступить так же: точка и ноль справа указывают, что это именно «одиннадцать» – 11.0. Хотя, нам удобнее без точек и нолей. Автор бы сказал – привычнее.
Используя для анализа любую комбинацию цифр, всегда найдётся тождественный этому числу камень.
Если с натуральными числами всё просто – цифр после точки нет, то в категорию рациональных чисел входит любая комбинация цифр, как до точки, так и после.
Подобие
Соизмеряя эталон-массу с другими камнями, мы не задумываемся насколько такое сравнение тождественно. Для нас это кажется таким очевидным, что об этом размышлять не имеет смысла. Вот и хорошо, что так – меньше вопросов будет в будущем.
Десять, сто, тысяча, миллион и т.д. – это всё подобие эталона «1».
10 ~ 100 ~ 1000 ~ 1000000 ~ 1
Определим свойство взвешиваемых предметов. Общее, что их объединяет – подобие. В нашем случае, это масса – частный случай рассмотрения. Подобие эталона-массы с пробами-массами:
1 ~ m .
Формула говорит о том, что их объединяет масса.
Иногда мы будем взвешивать камни, иногда числа – это подобные процессы. Отличие в художественном повествовании.
Расстояния
Классифицируя камни по массе, мы наблюдаем окружающие нас предметы. Нас стали интересовать ветви деревьев. Из одной такой ветки были изготовлены весы. Можно ли их классифицировать?
Возьмём первую попавшуюся ветку. Если быть точнее, она вторая. Первой – мы классифицировали массы.
Назовём эту ветку – пробирные весы. У неё есть примечательная особенность – чаши могут передвигаться по коромыслу. Такое коромысло называется – шкала.
Пробирные весы аналогичны эталонным весам – с тождественными чашами и тождественными длинами плеч.
Пробирные весы другие, но все тождества масс, рассмотренные на эталонных весах, аналогичны: разницы нет. Если длина плеч коромысла эталонных весов – эталон длины «1», то какова длина пробирных весов?
Есть способ их сравнить. Сопоставляем длину эталонных весов с пробирными весами. Рис.14,а.
Рисунок 14
Укажем на шкале пробирных весов метку – это эталон длины «1». Нет возможности соотнести это расстояние с классифицированными массами.
Обозначение для эталона расстояния – «L», для пробы расстояния – «l». Поскольку буква «l» похожа на цифру «1», для удобства будем все расстояния (и пробу, и эталон-расстояние), где возможно, обозначать символом «L». Понять, где эталон, где проба сложно. Есть только один случай, когда проба определена как проба: когда она неизвестна и сравнивается с эталоном.
Отметим важную особенность. Для анализа окружающего мира мы использовали эталон массы «1», то хотелось бы всё вокруг сравнивать только с ним. Сделать из эталона массы, тождественное ему расстояние, невозможно! Для этого необходимо использовать эталон-расстояние, которое не может быть тождественным эталону-массе, но ему подобен.
Градуировка шкалы
В правую чашу кладём эталонную массу «1», в левую – известную пробу-массу, например m=1.647. Двигаем правую чашу по шкале, и методом 3НТТ добиваемся тождества плеч. Рис.14,б.
Это тождественное пробе-массе расстояние: L ~ m = 1.647. В дальнейшем, для упрощения повествования будем использовать и вариант записи: L=m=1.647. Но не будем забывать: масса и расстояния не могут быть тождественными, они подобны. Даже если мы их обозначаем числами.
Делаем метку на шкале 1.647. Аналогично можно проделать со шкалой слева: в правую на эталон-расстояние положим пробу-массу «1.647», а левую чашу с эталоном будем двигать по шкале до получения неподвижности весов.
Переберём все известные массы и сопоставим им метки на шкале: как справа, так и слева. В итоге получим полностью проградуированную шкалу расстояний. Сравнивая пробирные и эталонные весы, мы находим отличие: пробирные весы удобнее – они проградуированы. Это упрощает анализ.
Тождественные массы и расстояния подобны между собой: M ~ L.
Перевод: расстояние => масса.
L
=>
M
Иногда нам придётся преобразовывать расстояние в массу. Для нахождения тождественной массы M, в левую чашу кладём эталон-массу на пробу-расстояние L. В правой чаше на эталон-расстояние меняем массу, до получения тождества методом 3НТТ. Полученная масса M является тождественной расстоянию L. Рис.15.