Страница 7 из 12
Назовем несколько проблем того времени.
Многочисленные вопросы изменения полей, строительства зданий и сооружений, иначе говоря, землепользования, вставали перед учеными Античности. Вот несколько примеров.
Следующая задача из вавилонской таблицы BM 85200 свидетельствует о том, что люди не только изображали геометрический план, но и руководствовались непосредственным видом местности.
Пещера. При условии что длина: глубина. 1, земля, я отнял. Моя часть и оставшаяся земля 1’10. Длина и ширина, ’50. Длина, ширина, сколько?[2]
Вы уже, наверное, поняли, что стиль письма математиков Вавилона чем-то схож с телеграфным. Так, эту же задачу можно переформулировать следующим образом:
Глубина пещеры в двенадцать раз больше ее длины.[3] Если сделать пещеру глубже, таким образом, что она станет на единицу глубже, ее объем будет равен 716. Если сложить длину и ширину, получится 5/6.[4] Определите размеры длины, глубины и ширины пещеры.
Задача сопровождается подробным решением, в результате чего получаются следующие ответы: длина – 1/2, ширина – 1/3, глубина – 6.
Перенесемся теперь в долину р. Нил. И конечно же, речь пойдет о пирамидах. Следующая загадка обнаружена на известном папирусе под авторством Ахмеса приблизительно XVI в. до н. э.
Сторона основания пирамиды составляет 140 локтей, наклон[5] – 5 ладоней и 1 палец, какова высота пирамиды?
Локоть, ладонь и палец равны соответственно 52,5 см, 7,5 см и 1,88 см. Ахмес приводит решение: 93 локтя 1/3. В этом же папирусе переписчик также приводит задачу с окружностью.
Диаметр окружности – 9 кхет. Какова площадь круга?
Кхет – это также мера величины, равная приблизительно 52,5 метра. Чтобы разрешить эту задачу, Ахмес утверждает, что площадь такого круглого поля равна площади квадратного поля со стороной 8 кхет. Такое соответствие очень удобно, т. к. намного проще рассчитать площадь квадрата, чем круга. Таким образом, площадь квадрата составит 8 × 8 = 64. Последователи Ахмеса, однако, обнаружили, что полученный им результат не совсем точен. Площадь круга и квадрата не полностью соответствуют друг другу. Многие в дальнейшем – напрасно и вместе с тем целенаправленно – прилагали усилия, пытаясь ответить на вопрос: как начертить квадрат, площадь которого соответствует площади круга. Ахмес, не осознавая этого, сделал первую попытку ответить на вопрос, над которым ломали голову многие математики: определение квадратуры круга!
В Китае также занимались вопросом определения площади круглых полей. Следующая задача была опубликована в первой части «Математики в девяти книгах».
Длина окружности поля равна 30 бю, а ее диаметр – 10 бю. Какова площадь поля?[6]
Бю – мера величины, соответствующая 1,4 м. Как и в Египте, китайские математики допустили ошибку в параметрах данной фигуры. Сегодня нам уже известно, что условия этой задачи неверны, т. к. длина окружности диаметром 10 больше, чем 30. Тем не менее это не мешало китайским ученым определять примерную площадь (75 бю), а также пытаться решить даже более сложные задачи по определению площади колец!
Представим поле в форме кольца, внутренняя окружность которого равна 92 бю, внешняя – 122 бю, а поперечный диаметр – 5 бю. Какова площадь поля?
Вызывает сомнение, были ли в Китае поля в форме колец, и можно предположить, что такие вопросы у ученых Срединной империи носили скорее теоретический характер в целях развития геометрии. Изучение геометрических фигур в той или иной степени необычных и нестандартных и по сей день является излюбленным времяпрепровождением математиков.
Говоря о профессиях, связанных с геометрией, необходимо также упомянуть так называемых бематистов (шагомеров). В то время как землемеры и натягиватели веревок измеряли поля и здания, бематистов интересовали куда большие величины. В Греции люди этой профессии измеряли своими шагами длинные расстояния.
Иногда измеряемые расстояния были огромными. Так, в IV в до н. э. Александр Македонский взял с собой несколько бематистов в кампанию по Азии и дошел с ними до границ современной Индии. Длина этого маршрута составила тысячи километров, которые были шаг за шагом измерены бематистами.
Попробуйте мысленно воспарить и представить, как странно выглядело с высоты птичьего полета это ритмичное движение людей, пересекающих обширные пейзажи Ближнего Востока, равнины Верхней Месопотамии, засушливые желтые пески Синайского полуострова, плодородные берега Нила, а затем, уже в другом направлении, храбро покоряющих горы Персидской империи и пустыни территории современного Афганистана. Невозмутимо шагали они, в монотонном ритме двигаясь через гигантские горы Гиндукуш навстречу Индийскому океану, и неутомимо считали шаги.
Представленная картина поражает, а несоразмерность этого замысла кажется безумием. Как это ни странно, полученные измерения были достаточно точными и отклоняются от современных данных не более чем на 5 %! Благодаря работе, проделанной бематистами Александра Великого, стало возможно впервые в истории создать карту империи такого масштаба.
Двумя веками позже в Египте ученый греческого происхождения Эратосфен реализовал значительно более сложный проект, а именно измерил окружность Земли. Вот это да! Разумеется, не было и речи о том, чтобы бедные бематисты прошагали всю планету. Между тем, благодаря своим наблюдениям разницы в отклонении солнечных лучей между Сиеной (современный Асуан) и Александрией, Эратосфену удалось подсчитать, что расстояние между двумя городами составляет одну пятидесятую окружности Земли.
Вполне естественно, что ученый обратился за помощью бематистов для того, чтобы сделать измерения. В отличие от своих товарищей по профессии из Греции, бематисты из Египта использовали для измерений сопровождавших их в пути верблюдов и их шаги, соответственно. Эти животные известны равномерностью своих шагов. После длительного перехода вдоль Нила удалось подсчитать, что расстояние между городами составляет 5000 стадий (мера длины в Античности), а длина окружности всей планеты – 250 000 стадий, или 39 375 км. Еще раз хочется отметить, с какой потрясающей точностью были сделаны эти расчеты, т. к. по самым точным современным измерениям длина окружности Земли равна 40 008 км. Таким образом, подсчеты Эратосфена отличаются менее чем на 2 %!
Быть может, более всех других цивилизаций Античности греки особенно выделяли геометрию в своей культуре. Эта наука известна своей строгостью и способностью формировать сознание. Платон считал, что изучение геометрии – это обязательное условие для того, чтобы стать философом. Легенда гласит, что на входе в Академию, возглавляемую Платоном, был высечен девиз: «Не геометр да не войдет».
Геометрия становится все более и более популярной еще и за счет своего междисциплинарного положения. Так, арифметические свойства чисел могут интерпретироваться на языке геометрии. Вот, например, определение Евклида из седьмой книги его главного труда «Начала», датируемого III в. до н. э.
При умножении двух чисел получаемое значение называется «планом», а длины сторон, образующих данную фигуру, соответствуют по значению перемножаемым числам.
Если умножить 5 на 3, числа 5 и 3 будут называться в терминологии Евклида «сторонами» произведения. Почему так? Все потому, что произведение может быть изображено как площадь прямоугольника. Если его ширина будет равна 3, а длина – 5, то площадь поверхности будет равна 5 × 3. Так, числа 3 и 5 являются сторонами прямоугольника. Результат перемножения, 15, называется «планом», поскольку соответствует по своим размерам площади фигуры.
2
Пер. Йенс Хойруп, «Алгебра во времена Вавилона», издательство Vuibert / SNES Adapt, 2010.
3
Согласно условиям задачи, длина и глубина равны, но в вавилонской системе исчисления глубина измерялась единицами в 12 раз большими, чем длина.
4
Необходимо отметить, что в шестидесятичной системе исчисления 1’10 обозначает число, равное «одной целой десяти шестидесятых», что в нашей системе исчисления соответствует 7/6. ’50, в свою очередь, обозначает 5/6 (или пятьдесят шестидесятых).
5
Наклон грани пирамиды, который также назывался по-египетски секед, – это горизонтальное расстояние между двумя точками, высота которых отличается на один локоть.
6
Перевод Карин Чемла и Шучан Гао «Математика в девяти книгах», изд. Dunod, 2005.