Страница 150 из 151
X=q(l3-q3), Y=l(l3-2q3), Z=q(q3+l3), V=l(q3+l3).
[6] Примечание автора для ОСОБО ИНТЕРЕСУЮЩИХСЯ.
K=E·J/l2, где K — нагрузка, Е — модуль упругости, J — момент инерции сечения стержня, l — его длина.
[7] Примечание автора для ОСОБО ИНТЕРЕСУЮЩИХСЯ.
Суть теоремы Эйлера заключалась в том, что сумма целых чисел, возведенных в степень, равна целому числу в той же степени, если эта степень совпадает с количеством членов многочлена. То есть для третьей степени — трехчлен, для четвертой — четырехчлен и т. д. В остальных случаях целочисленных решений быть не может.
[8] Примечание автора для ОСОБО ИНТЕРЕСУЮЩИХСЯ.
Для X2+Y2=Z2; X = m2-n2; Y = 2m·n; Z= m2+n2
[9] Примечание автора для ОСОБО ИНТЕРЕСУЮЩИХСЯ.
Вывод Сони таков: X3+Y3+Z3=V3 (1). Применив подстановку Диофанта X=t-Z, Y=V-kt и приняв k=(Z/V) 2, из (1) найдем выражение для t: t=3V3Z/(V3+Z3) (2). Костя предложил ввести простую дробь Z/V=q/l, где q и l — целые числа. Это позволило получить значения для X,Y,Z и V. Из (2) получим t=3Zl3/(l3-q3) (3), и из условия, что X, Y, Z, V и t не могут быть дробными числами, получим X=q(2l3-q3), Y=l(l3-2q3), Z=q(l3+q3), V=l(l3+q3).
[10] Примечание автора для ОСОБО ИНТЕРЕСУЮЩИХСЯ.
В загадочной реликвии кроется неожиданный сюрприз. Если l3=2q3 и Y=0, то трехчлен превращается в двучлен Ферма X3+Z3=V3. Но при этом l=q 3√2, а корень кубический из двух не целое число, следовательно X или Z тоже не могут быть целыми числами и равенства в двучлене нет. Вот еще одно доказательство теоремы Ферма для третьей степени, вытекающее из формул Эйлера, но им не приведенное. В таблице в качестве примера определены значения X, Y, Z и V для произвольно взятых простых дробей q/l = 1/2, 1/3, 1/5, 2/3, 3/4, 8/13. Путем сокращения на общий множитель или умножения на любое целое число n значений X, Y, Z и V, полученных по формулам Эйлера, можно получить значения X, Y, Z и V для всех возможных многочленов, т. е. умножая каждый их член на n/m.
n/m
1/3
2/3
2/1
q
1
2
3
8
1
1
8
l
2
3
5
3
4
13
2
2
13
X
9
53
249
92
303
31056
3
6
62112
Y
12
75
95
33
40
15249
4
8
90498
Z
15
28
126
70
273
21672
5
10
43344
V
18
84
630
105
364
35217
6
12
70434
[11] Примечание автора для ОСОБО ИНТЕРЕСУЮЩИХСЯ.
Хn + Yn = Z(n+1); Z(n+1) = Zn.Z; Z(n+1)=(A + B).Zn = AZn+ ВZn; аn = A; bn= В;
в целых числах: Z(n+1)=(a.Z)n + (b.Z)n; X = aZ; Y = b Z;
Xn+ Yn= Zn+1; что и требовалось доказать.
[12] Позднее чемпион мира по шахматам Анатолий Карпов так прокомментировал это этюдное положение:
“Позиция выглядит обоюдоострой. Формально черные имеют даже некоторый материальный перевес: ферзь за ладью и три пешки. Однако пешки белых далеко продвинуты, а король противника оттеснен на крайнюю линию.
1. Rb7!Во первых, уводя ладью из-под боя. Во вторых, защищая короля от шаха по диагонали. В третьих — главное (!) — создавая матовую угрозу неприятельскому королю: 2. Bd1+ Ka5 3. b4+ Ka6 4. Be2+ X.
1… Qe5После 1… Qh2 белые могут продолжать, как в главном варианте или выиграть путем: 2. Bd1+ Ka5 3. b4+ Ka6 4. Ba4 c угрозой: 5. Bb5+ X. На 1… Bh7 решает: 2. Bd1+ Ka5 3. b4+ Ka6 4. Be2+ Bd3 5. h7! На 1… Ka5 белые играют 2. Bd1 Ka6 3. b4 и черным все равно приходится пойти на 3… Qe5
2. Bd1+ Ka5 3. b4+ Ka6 4. Be2+! Qxe2 5. Kb8! Наконец очередь дошла до короля: 5… Qe5+ 6. Kc8 Qe8+ 7. Kc7 Bxd5. Король избегает шахов в случае: 7… Qe5+ 8. d6 Qc3+ 9. Kb8! с угрозой 10. a8=Q+ Х, а попытка пожертвовать ферзя — 7… Qe5+ 8. d6 Qxd6+ 9. Kxd6 Kxb7 - не спасает от поражения: 10. b5! (ни в коем случае не 10. Kxd7? Kxa7 11. Kc7 Ka6 12. Kc6 Ka7), - и ничья. А вслед за: 10… Kxa7 11. Kc7 - с выигрышем.
Выигрывают белые и после: 7… d6 8. a8=Q+ Qxa8 9. Rb6+ Ka7 10. b5 Qd8+ 11. Kxd8 Kxb6 12. Kd7 Kc5 13. Kc7 - и черным конец.
Сейчас же кажется (поcле хода черных 7. C:d5), что силы белых истощены и им впору сдаваться. Но следует изумительный финал! 8. a8=Q+. Заманивая ферзя черных на пассивную позицию, 8… Qxa8 9. Rb6+ Ka7 10. b5!. Прекрасно! Ферзь и слон черных бессильны в борьбе против ладьи и пешки! Пока надо защищаться от угрозы мата на а6. 10… Bb7. Простая защита, и вроде белые могут сдаться. Однако, приглядимся повнимательнее. 11. Ra6+ Bxa6 12. b6+ мат!
Этюд заслуживает самой высокой похвалы. Изящный финал, которому предшествует интересная и строгая игра.
[13] Примечание для шахматистов.
У черных перевес: ферзь за ладью с пешкой, но ход белых:
1. e7.
Черным надо перехватить пешку e7:
1… Кa3+
Не спасает 1… Крc3+, как показывает анализ, вдет к сложным, проигрышным для черных вариантам.
2. Крb6!
Очень тонкий ход. Все остальные хуже.
2… Кc4+.
Не помогло бы 2… Фa4? 3. Кd5! Кc4+ 4. Крc7, и грозит 5. Л: b4.
3. Крc5 Фa4 4. Л: b4!!
Становясь ладьей в засаду и отдавая ради этого свою "пешку-надежду"! Но взведя курок своеобразной шахматной "адской машины"!
4… Фa7+ 5. Кр: c4 Ф: e7.
Пешка уничтожена. Казалось, страхи позади. Ладья заслонена от короля тремя фигурами и выглядит безобидной. Но в смертельном ударе развертывается скрытая пружина сверкающей комбинации:
6. Кg6+ f: g6 7. Сf6+ Ф: f6 8. Крd5+!
Король шахует, открыв ладью, притаившись за ее спиной!
8… Крg5 9. h4+ Крf5 10. g4+
Вот они, пешки, помогающие достигнуть цели, как сахалинские рыбы, идя на нерест, подставившие под колеса при переправе свои спины!
h: g4 11. Лf4+ С: f4 12. e4+ мат!
"Ошеломляющий финал! Все фигуры в ходе борьбы на своих местах. Ни одной лишней, не участвующей в мате! И "Взрыв", как в тунгусской тайге!" — Написал в заключение судья Корт, отменив свое предыдущее решение.
[14] Илизаров показывал:
— 1. Крc7 — Хуже нет — ждать, да догонять. А ждать нельзя. Так у нас кабардинцы говорят. — 1… b4 2. Крd6 b3. — Ее и не догнать, кабы не слон. — 3. Сd1 b2 4. Сc2. — Теперь черные воронка h вскачь пускают с белым королем взапуски. Хоть в тотализатор играй. — 4… h5 5. Крe5, грозя взять коня и двинуть пешку g6 в ферзи, но — 5… Кg4+ 6. Крf4! Кf6, - спасая пешку h5, после неизбежного 7. Крg5. — Создалось прелестное положение позиционной ничьи.
[15] — Я нападал слоном на пешку 3.Сb1, считая, что черные непременно двинут пешку на b2, близоруко упуская из виду промежуточный шах — 3.Ке4+, сразу и защищая пешку и проводя ее в ферзи. Теперь пешка h при лишнем коне легко выигрывают. Авторский же путь, куда изящнее моей позиционной ничьи, — и он показал: —