Страница 9 из 13
Этот эксперимент проводится, по сути дела, так же, как и предыдущий. Для сокращения времени эксперимента выберите в качестве своих закрытых карт комбинацию (8, 2), которая дает максимальное расхождение 6,1 %. Это значение ошибки получено из таблицы 4л, из которой следует, что если при руке (8, 2) против туза просто прикупать до получения подходящей суммы, на долговременном масштабе выигрыш составляет около 8,6 % ставки игрока. Однако при удвоении ставки долговременный выигрыш составляет всего 2,5 % исходной ставки игрока. Разница равна 6,1 %. Разыграйте около 400 раздач с удвоением ставки. Затем вычтите число проигранных раздач из числа выигранных. Удвойте эту разность, чтобы учесть размеры удвоенных ставок. Полученное число даст суммарный по 400 раздачам выигрыш от удвоения ставки против туза. Как и в предыдущем случае, не забывайте исключать из подсчета все случаи, в которых дилеру приходит натуральный блэкджек. Если открытой картой оказывается десятка, снесите ее и сдайте дилеру другую карту.
После этого разыграйте еще 400 раздач, следуя правильной стратегии прикупа и остановки против туза (по таблице 3.5). Разность выигрышей и проигрышей дает суммарный выигрыш по 400 раздачам. Превышение выигрышей над проигрышами за 400 раздач при таком использовании прикупа и остановки составляет в среднем 17,2 раздачи. Удвоение ставки в среднем дает превышение выигрышей над проигрышами, равное 5,0 раздачам.
В соответствии с таблицей 4е преимущество от разделения пары по сравнению с остановкой составляет в этом случае 17,2 + 10,2, то есть 27,4 %. Если игрок не останавливается, он получает на 100 раздачах суммарный проигрыш 10,2 единицы. Если он разделяет пару, 100 ставок превращаются в 200, и из этих 200 раздач игрок выигрывает приблизительно на 17,2 раздачи больше, чем проигрывает. Разделяя пару, а не останавливаясь, игрок получает на 100 исходных раздач среднее суммарное преимущество 27,4 единицы. Пятьдесят исходных раздач каждого типа должны быть достаточно показательны.
Как сказано в работе Болдуина и др. [2, с. 439], «ожидаемый результат игрока, который имитирует поведение дилера, прикупает к 16 или меньшей сумме, останавливается при 17 или больше, никогда не удваивает ставок и не разделяет пар, составляет −0,056». Другими словами, дилер имеет перед ним преимущество 5,6 %.
Проиллюстрируем применение таблицы 1 на примере вычисления результата для игрока, имитирующего поведение дилера. Прежде всего заметим, что, если игрок следует этим правилам, игра становится симметричной, за исключением двух ситуаций. Если и игрок, и дилер перебирают, то дилер выигрывает. Будем считать, что у дилера перебор, если он перебрал бы при дальнейшем розыгрыше несмотря на то, что игрок также перебрал и уже потерял свою ставку. Это правило выгодно дилеру. Преимущество, которое оно дает ему, равно вероятности одновременного перебора у игрока и у дилера. Поскольку предполагается, что игрок и дилер используют одну и ту же стратегию, данные таблицы 1 («Вероятности комбинаций дилера») относятся к ним обоим. Тогда полная вероятность перебора у каждого из них равна 0,2836, а вероятность одновременного перебора обоих (в предположении стохастической независимости, которое, строго говоря, неверно, но дает в данном случае достаточно хорошее приближение при почти полной колоде) составляет 0,2836 · 0,2836, то есть связанное с этим фактором преимущество дилера составляет 8,04 %. Второе нарушение симметрии такой игры связано с тем, что если игроку, но не дилеру приходит натуральный блэкджек, игрок выигрывает 1,5 единицы. И в то же время, если натуральный блэкджек приходит дилеру, но не приходит игроку, дилер выигрывает одну единицу. Такое происходит в 4,68 % случаев для каждой из сторон, так что преимущество игрока, связанное с этим фактором, составляет половину этой величины, то есть 2,34 %. Итого, суммарное преимущество дилера равно (8,04 – 2,34) = 5,7 %.
Также интересно вычислить величину преимущества, которое казино имеет перед игроком, никогда не прикупающим к руке, на которой возможен перебор. Отметим прежде всего, что это означает, что для такого игрока все жесткие суммы остановки равны 12. Однако мягкие суммы остановки не определены. В таком случае поставленная задача не имеет смысла. Поскольку в такой формулировке задача бессмысленна, мы будем исходить из предположения, что мягкие суммы остановки равны 17. Как уже было указано выше, мягкая сумма остановки не может быть меньше 17 просто исходя из соображений здравого смысла. Поскольку, как мы знаем, 18 иметь выгоднее, чем 17, мягкая сумма остановки, равная 17, дает игроку большую среднюю долю проигрышей, чем мягкая сумма остановки, равная 18. Мы будем называть игрока, использующего такую любопытную стратегию, «осторожным» или «консервативным».
Мы утверждаем, что заведение имеет перед консервативным игроком преимущество, составляющее от 5 до 8 %. Доказательства этого утверждения проистекают из трех источников. Во-первых, мы провели эксперимент, в котором консервативную стратегию использовали в розыгрыше шести групп по 100 раздач в каждой. Число единиц, проигранных игроком, составило от 13 до 2 со средним значением, равным 7. Это хорошо согласуется с нашим результатом (от 5 до 8 %). Поскольку число раздач, равное 600, было выбрано заранее и без учета результатов предыдущих раздач, к этим данным применимы стандартные формулы математической теории вероятностей. Мы заключаем, что истинное значение преимущества заведения почти несомненно лежит между 3 и 11 %. Во-вторых, мы произвели расчеты (для таких низких жестких сумм остановки их сравнительно легко выполнить без использования компьютера), доказывающие, что истинное значение заведомо меньше 10 %. В-третьих, и это наиболее действенный аргумент, Болдуин и его соавторы оценивают преимущество заведения перед игроком, который останавливается на жестких 12, никогда не удваивает ставок и разделяет только пары тузов и восьмерок, в 4,25 % (мягкие суммы остановки в этой работе не приводятся). Можно показать, что разделение пар тузов и восьмерок добавляет к преимуществу игрока менее 1 %. Поправка на различные мягкие суммы остановки, если она вообще существует, также в целом составляет порядка 1 или 2 %. Таким образом, истинное значение по данным этого источника лежит в диапазоне от 5 или 6 до 8 %.
Забавную иллюстрацию невыгодности такой консервативной игры дает опыт «человека, который остриг своего парикмахера»[24], моего друга Джона Блаттнера, профессора математического факультета Колледжа штата в долине Сан-Фернандо[25].
Как-то раз Блаттнер разговорился со своим парикмахером о блэкджеке. Когда Блаттнер рассказал, что один его друг написал книгу о том, как постоянно выигрывать в блэкджек, парикмахер только фыркнул. «Ну, это просто, – сказал он. – Выиграть может кто угодно, надо только не перебирать» (то есть всегда останавливаться на жестких 12). Блаттнер тщетно пытался доказать парикмахеру, что он ошибается. В конце концов парикмахер уговорил Блаттнера сыграть с ним вечером в блэкджек. Блаттнер принес с собой 160 долларов. Они стали играть со ставками по 5 и 10 долларов, и парикмахер быстро проиграл такую же сумму. Он постоянно восклицал, что Блаттнер – самый везучий человек, какого он когда-либо встречал. Проиграв 160 долларов, он не захотел закончить игру. Он потребовал возможности отыграть свои деньги. Они стали играть со ставками по 20 долларов. Когда парикмахер проигрывал уже 1200 долларов, ему начало везти. Он отыграл 300 долларов из своего предыдущего проигрыша. Но потом все закончилось. Он проиграл в общей сложности 1500 долларов и вышел из игры.
24
Как мы увидим, эта история не лишена математической иронии. Следует объяснить читателю, далекому от математики, что речь идет о знаменитом парадоксе Бертрана Рассела. Предположим, что в некоем городке есть парикмахер, который стрижет тех, и только тех, кто не стрижет себя сам (предполагается, что каждого человека всегда стрижет один и тот же человек). Кто стрижет парикмахера? Если парикмахера стрижет кто-то другой, то парикмахера должен стричь парикмахер. Невозможно! Если же парикмахер стрижет себя сам, то парикмахер не может стричь парикмахера. Невозможно! Так кто же стрижет парикмахера?
25
С 1972 г. – Университет штата Калифорния в Нортридже. (Примеч. перев.)