Страница 17 из 55
Теория предельных групп симметрии, восходя к ранним работам Шубникова, Кюри, Хееша, завершилась работой А. В. Шубникова [162], открывшей с помощью теории симметрии новую главу «тензорной кристаллографии». «Известно, — пишет сам автор, — что многие физические явления, происходящие в кристаллах, могут быть описаны с помощью векторов и тензоров. Приписывая физическим явлениям определенную симметрию, естественно перенести понятие симметрии и на те величины, которыми эти явления описываются, то есть на векторы и тензоры. Первой задачей, которую мы себе ставим в настоящей работе, как раз и является установление понятия симметрии векторов и тензоров. Вторая наша задача состоит в выводе всех возможных групп симметрии векторов и тензоров» [162, с. 347]. Эта работа генетически восходит к книге A. В. Шубникова, Г. Б. Бокия и Е. Е. Флинта [134]. В 1949 г. вышла работа А. В. Шубникова [164]. Дальнейшее уточнение и расширение этих понятий связано в первую очередь с работами И. С. Желудева, В. А. Копцика (особо следует отметить его «Шубниковские группы»).
B. Е. Найша, Ю. И. Сиротина (наиболее полные таблицы размерностей групповых тензорных пространств), Л. А. Шувалова (предельные группы двойной антисимметрии) и др.
По словам Б. К. Вайнштейна, в современной кристаллографической литературе общепризнано, что «вершиной творчества Алексея Васильевича в области теории симметрии явилось открытие антисимметрии. Рожденное в чистых высотах абстракций обобщение понятия кристаллографического равенства фигур и введение антиравенства привели в дальнейшем к появлению целого потока работ по черно-белой и цветной симметрии ... во всех этих работах теория симметрии получила выход за рамки геометрического трехмерного пространства, что явилось крупнейшим после работ Е. С. Федорова обобщением» [350, с. 8].
Генезис понятия антисимметрии, сформулированного А. В. Шубниковым, по характеристике А. М. Заморзаева, можно описать следующим образом: «Высказанная Шпайзером и практически осуществленная Вебером идея изображения двусторонней плоской фигуры (ленты, слоя) на односторонней плоскости чертежа с помощью черного и белого цвета, соответствующих „лицу" и „изнанке" фигуры, произвела глубокое впечатление на Г. Хееша и А. В. Шубникова...
Для Хееша был вполне естественен скачок на одно измерение выше: от разработки принципа вывода 80 слоевых групп (в качестве черно-белых двумерных) непосредственно из 17 плоских федоровских к попытке вывода четырехмерных „гиперслоевых" групп (в виде черно-белых трехмерных) и 230 федоровских; попутно им были получены 122 четырехмерные точечные группы с особенной (инвариантной) гиперплоскостью (как черно-белые трехмерные точечные) из 32 гадолинских классов. Хееш интересовался прежде всего геометрической задачей многомерного обобщения классических групп, лишь мимоходом указав на возможность физического толкования знака четвертой координаты: для математической четкости вопрос и формулировался на „четырехмерном“ языке, отпугивавшем кристаллографов. Отчасти поэтому его новаторские работы не были своевременно оценены кристаллографами, а математики и физики просто не заметили статей Хееша в кристаллографическом журнале.
Иначе подходил к идее антисимметрии А. В. Шубников. Построив в своей книге „Симметрия" под впечатлением рисунков Вебера интерпретацию ленточных групп чернобелыми бордюрами... и воспроизведя впоследствии те и другие рисунки... он не сразу перешел к следующему измерению. Считая, что „дальнейшее усовершенствование учения о симметрии может иметь смысл лишь в том случае, если оно находит или найдет в будущем себе оправдание в практике естествознания" ([148, с. 76], — Я. Д.), Шубников мог сформулировать понятие антисимметрии только как принципиальное расширение классической симметрии за счет добавления изменения физического свойства. Глубокое убеждение в прикладной ценности развиваемого им учения, разделявшееся далеко не всеми кристаллографами до работ Кокрена, привело ведущего советского кристаллографа от докладов к монографии „Симметрия и антисимметрия конечных фигур“, вышедшей в 1951 году».[* Заморзаев А. М. Теория простой и кратной антисимметрии. Кишинев: Штиинца, 1976, с. 8, 9.] Вот что пишет по этому поводу Б. Н. Делоне: «Комитет по присуждению Государственных премий колебался, за какое изобретение наградить Алексея Васильевича: за текстуры или за черно-белые группы. Уже перед самим решением вопроса просили меня ответить, что я думаю. Когда Алексей Васильевич выдумал черно-белые группы и нашел, что таких точечных групп 58, он, чувствуя, что это все-таки уже совсем математика, прочел об этом доклад у нас в совете Математического института АН СССР. С точки зрения математика это был вопрос о гомоморфных отображениях 32 точечных групп на группу второго порядка. Вопрос, так сказать, тривиальный и не очень сложный. Поэтому я ответил комитету, что лучше дать премию за текстуры, и А. В. Шубников был удостоен за эти исследования Государственной премии.
Теперь я вижу, что я, как математик, глубоко ошибался. Хотя и правда, что Г. Хееш нашел те же 58 групп гораздо раньше А. В. Шубникова, о чем Алексей Васильевич, конечно, не знал, но его работа не была замечена. Это же открытие А. В. Шубникова, изложенное им в книге „Симметрия и антисимметрия конечных фигур“, положило начало огромному потоку работ по таким же и еще более общим группам, которые оказались очень полезными для разных исследований в физике твердого вещества и кристаллографии... Конечно, правы те, которые говорят, что после исследований А. В. Гадолина, Е. С. Федорова и А. Шенфлиса в теории кристаллографических групп самые важные — это работы А. В. Шубникова об обобщенных группах симметрии» [Л. 57, с. 382—384].
Рассмотрим содержание замечательной работы А. В. Шубникова, написанной в 1945 г. [148]. Приводимые ниже слова автора полностью характеризуют ученого и как кристаллографа-теоретика, и как кристаллографа-практика, чем и объясняются его блестящие достижения: «Первое, на чем мы настаиваем, — это, если позволительно так выразиться, узаконение фактического положения вещей в отношении практики интерпретации симметрии материальными фигурами. Мы не можем целиком согласиться с мнением некоторых математиков, для которых учение о симметрии есть просто учение о группах ортогональных преобразований. Для нас корни его лежат в широко понимаемом естествознании; мы не можем отделить операцию преобразования от объекта исследования; не можем говорить, в частности, о группе симметрии, определяемой одной осью симметрии бесконечного порядка, не имея в руках соответствующего образца фигуры. Симметрия есть широко распространенное явление природы, и его нельзя отождествлять с той или иной математической интерпретацией симметрии» [148, с. 76].
Рис. 1. Фигура двухсторонней симметрии и антисимметрии.
1 — части фигуры связаны плоскостью симметрии; 2 — осью второго порядка; 3 — центром инверсии; 4 — плоскостью антисимметрии; 5 — осью антисимметрии второго порядка; 6 — центром антисимметрии.
Именно такой принцип мышления привел А. В. Шубникова к успеху, ведь недаром считается, что симметрия — это метод мышления, а не просто набор групп преобразований. В той же статье автор пишет (рис. 1): «Мы определили выше материальную фигуру как геометрическую фигуру плюс свойство; приписав геометрической фигуре свойство знака, мы приходим к представлению о фигуре полярной — такой фигуре, которая может быть в зависимости от обстоятельств положительной или отрицательной... Понятием полярной фигуры также успешно пользовались до сих пор, не употребляя самого термина, например, в теории поля и векторном исчислении под именем источников и стоков, но в учение о симметрии оно вводится нами впервые... Вводя понятие полярной фигуры, мы уже в силу логической необходимости должны ввести и понятие нейтральной фигуры — фигуры, знака не имеющей, или, формально говоря, фигуры одновременно положительной и отрицательной... Необходимо указать еще на возможность существования фигур смешанной полярности, то есть фигур, которые состоят из положительных и отрицательных частей» [148, с. 216]. Далее автор пишет: «Подобно тому, как правая фигура может быть равна левой, так, по нашему предположению, положительная фигура может быть равна отрицательной. Это вид равенства назовем противоположным равенством или антиравенством. Так как антиравные фигуры должны быть в то же время зеркально, совместимо или одновременно зеркально и совместимо равны друг другу, то следует различать: зеркальное, совместимое, а также двойное (совместимо-зеркальное) антиравенство фигур» [148, с. 217, 218]. В своей работе А. В. Шубников вводит новые симметричные преобразования: «...все новые симметрические преобразования должны иметь в качестве составного элемента операцию перемены знака фигуры... Новым операциям мы дадим старые названия с добавлением приставки анти и будем, следовательно, говорить об антивращении, антиотражении, зеркальном антивращении и т. д.» [148, с. 222]. Здесь начало всей теории антисимметрии. Однако А. В. Шубников в этой статье наметил не только контуры теории антисимметрии, но и кратной антисимметрии. Действительно: «Если материальную фигуру со знаками (или знаком) одного сорта позволительно рассматривать как четырехмерную фигуру особого рода, то есть как фигуру, в которой интересен лишь знак четвертой координаты, а не ее абсолютная величина, то фигуру со знаками двух сортов следует уже рассматривать как фигуру пяти измерений. Ясно, что принципиально можно идти и далее в этом направлении, и тогда абстрактная материальная фигура, долженствующая отображать действительность по необходимости не полно, представится нам снабженной множеством разнообразных этикеток плюсов и минусов, напоминая собой облепленный всевозможными ярлыками чемодан путешественника, изображающий также несовершенно, однако более совершенно, чем чемодан без ярлыков, историю поведения своего хозяина» [148, с. 219].