Страница 12 из 115
т.е. значение Q в центре шара превышает среднее значение Q внутри шара на величину, зависящую от радиуса и от ∇²Q. Поэтому раз ∇²Q означает избыток значения Q в центре над его средней величиной внутри шара, то я назову его концентрацией Q.
Если Q — величина скалярная, то и концентрация её — скаляр. Так, если Q — электрический потенциал, то ∇²Q есть плотность вещества, создающего потенциал.
Если Q — векторная величина, то Q0 и Q — векторы и ∇²Q — также вектор, выражающий собой избыток равномерно распределённой силы Q0 приложенной ко всему веществу шара, над результирующей действительной силы Q, действующей на все части шара.
Рассмотрим затем гамильтоновский оператор ∇. Применим его сначала к скалярной функции P. Величина ∇P есть вектор, указывающий направление, в котором P наиболее быстро уменьшается, и измеряющий степень этого уменьшения. Я решаюсь, с большой осторожностью, называть это падением (slope) P. Ламе называет величину выражения ΔP «первым дифференциальным параметром» P, но направлением вектора ΔP он не интересуется. Нам нужен термин, имеющий векторный характер и который, одновременно указывая направление и величину, в то же время не употреблялся бы ещё в другом математическом смысле. Я взял на себя смелость, распространить обычный смысл слова падение (slope), взятого из топографии, где по отношению к трёхмерному пространству употребляются лишь две независимые переменные.
Если σ изображает векторную функцию, то Δσ а может одновременно заключать скалярную и векторную части, которые могут быть написаны как S∇σ и V∇σ.
Я предлагаю назвать скалярную часть конвергенцией4 σ потому, что если описать вокруг любой точки замкнутую поверхность, то поверхностный интеграл σ, выражающий действие вектора σ, рассматриваемого как втекание потока через поверхность, равен объёмному интегралу S∇σ заключённому в этой замкнутой поверхности пространству. Поэтому я считаю, что конвергенция векторной функции является очень подходящим названием для действия этой векторной функции, заключающегося в продвижении представляемого им объекта внутрь, к одной точке.
Но ∇σ а имеет обычно ещё и векторную часть, и я, с величайшей осторожностью, предлагаю назвать этот вектор кэрлом (curl) или версией (version) первоначальной векторной функции.
Он изображает направление и величину вращения вещества, представляемого вектором σ. Я искал термин, который не подразумевал бы движения, как слова «вращение», «вихрь», «кружение», или же указывал бы, как слово «скручивание», на спиральное или винтообразное строение, которое совершенно несвойственно природе вектора.
Если мы вычтем из общей величины векторной функции σ её значение σ0 в точке P то оставшийся вектор σ-σ0 будет направлен, в случае чистой конвергенции, к P; в случае чистого кэрла — по касательной вокруг P, а в том случае, когда имеется и конвергенция и кэрл, он будет направлен по спирали.
Справедливы следующие утверждения:
Падение скалярной функции не имеет кэрла.
Кэрл векторной функции не имеет конвергенции.
Конвергенция падения скалярной функции есть её концентрация.
Рис. 1
Концентрация векторной функции есть падение её конвергенции и кэрл её кэрла.
Выражения в кватернионах, переводом которых являются все приведённые выше утверждения, были даны проф. Тэтом в его статье в «Proceedings of the Royal Society of Edinburgh» от 28 апреля 1862 г. Наиболее же полный математический разбор оператора ∇ можно найти в весьма содержательной статье проф. Тэта «О теории Грина и других, связанных с нею теоремах» («Transactions of the Royal Society of Edinburgh», 1870) и в другой статье в «Proceedings of the Royal Society of Edinburgh» за 1870—1871гг., стр. 318.
О действиях на расстоянии
Сегодня я намерен беседовать с вами не о каком-либо новом открытии. Я желаю говорить о предмете, давно известном, и обратить ваше внимание на вопрос, который неоднократно возникал с тех пор, как человек начал мыслить.
Это — вопрос о передаче силы. Мы видим, что два тела, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, оказывают взаимное влияние одно на движение другого. Зависит ли это взаимодействие от существования некоторой третьей вещи, некоторой среды, приводящей одно тело в сообщение с другим и занимающей пространство между обоими телами, или же тела действуют друг на друга непосредственно, без участия чего-либо иного?
Фарадей смотрел на явления этого рода иначе, нежели некоторые из современных исследователей, и моей целью является — дать вам возможность стать самим на точку зрения Фарадея и выяснить научное значение концепции силовых линий, которая в его руках сделалась ключом к науке об электричестве.
Когда мы наблюдаем, что одно тело действует на другое на расстоянии, то прежде чем принять, что это действие прямое и непосредственное, мы обыкновенно исследуем, нет ли между телами какой-либо материальной связи; и если находим, что тела соединены нитями, стержнями или каким-либо механизмом, способным дать нам отчёт в наблюдаемых действиях одного тела на другое, мы предпочитаем скорее объяснить действия при помощи этих промежуточных звеньев, нежели допустить понятие о прямом действии на расстоянии.
Так, когда мы, дёргая за проволоку, заставляем звонить колокольчик, то последовательные части проволоки сначала натягиваются, а затем приходят в движение, пока наконец звонок не зазвонит на расстоянии посредством процесса, в котором принимали участие все промежуточные частицы проволоки одна за другой. Мы можем заставить колокольчик звонить на расстоянии и иначе; например, нагнетая воздух в длинную трубку, на другом конце которой находится цилиндр с поршнем, движение которого передаётся звонку. Мы можем также пользоваться проволокой, но вместо того чтобы дёргать её, можем соединить её на одном конце с электрической батареей, а на другом — с электромагнитом, и таким образом заставим колокольчик звонить посредством электричества.
Здесь мы указали три различных способа приводить звонок в движение. Но во всех этих способах есть то общее, что между звонящим лицом и звонком находится непрерывная соединительная линия и что в каждой точке этой линии совершается некоторый физический процесс, посредством которого действие передаётся с одного конца линии на другой. Процесс передачи — не мгновенный, а постепенный; так что, после того как на одном конце соединительной линии дан импульс, проходит некоторый промежуток времени, в течение которого этот импульс совершает свой путь, пока не достигнет другого конца.
Ясно, следовательно, что в некоторых случаях действие между телами на расстоянии можно объяснить себе тем, что в ряду тел, занимающих промежуточное пространство, совершается ряд действий между каждыми двумя смежными телами ряда; и сторонники действия посредствующей среды спрашивают: не разумнее ли в тех случаях, когда никаких посредствующих агентов мы не замечаем,— не разумнее ли будет, говорят они, допустить в этих случаях существование среды, которую указать пока мы не можем, нежели утверждать, что тело может действовать там, где его нет.
Кому свойства воздуха незнакомы, тому передача силы посредством этой невидимой среды будет казаться столь же непонятной, как и всякий другой пример действия на расстоянии, и однако в этом случае мы можем объяснить весь процесс и определить скорость, с которой действие передаётся от одного участка среды до другого.
Почему же не можем мы допустить, что знакомый нам способ сообщения движения посредством толчка и тяги нашими руками является видом и наглядным примером всякого действия между телами, даже в тех случаях, когда мы не можем заметить между телами ничего такого, что видимо принимало бы участие в этом действии.