Статьи и речи

В физике во многих случаях сила и поток всегда имеют одно и то же направление и пропорциональны друг другу. Поэтому одним часто пользуются для измерения другого; их обозначения часто вырождаются в одно, и оба эти представления смешиваются. Один из самых важных математических результатов открытия веществ, обладающих различными физическими свойствами в различных направлениях, заключался в том, что он позволил провести различие между силой и потоками, показывая нам, что их направления могут быть различны.

Так, в обычной теории жидкостей, в которой рассматривается лишь движение, которое можно непосредственно обнаружить, мы можем с одинаковым успехом определить её через единицы длины — как число единиц длины, пройденных частицей за единицу времени. Или мы можем определить её через единицы площади как объём жидкости, проходящей через единицу площади за единицу времени. Определённая первым способом, она принадлежит к категории сил; определённая вторым — к категории потоков.

Но если мы попытаемся развить более полную теорию жидкостей, учитывающую наличие диффузии, при которой в одном и том же месте две жидкости обладают различными скоростями, или если мы примем учение о том, что в силу теплоты молекулы жидкости находятся в состоянии движения, то, хотя мы и можем дать определение скорости отдельной молекулы, выражая её через единицу длины, мы не можем этого сделать для самой жидкости; и единственный способ определения движения жидкости — это рассмотрение её как потока и измерение последнего количеством жидкости, протекающей сквозь единицу площади.

Это различие ещё более необходимо, когда мы обращаемся к теплоте и электричеству. Тепловой или электрический поток нельзя себе даже представить иначе, как в виде количества, протекающего в заданное время сквозь заданную площадь. Для того чтобы составить представление о скорости, в смысле, соответствующем каждому из этих агентов, нам нужно было бы представить себе тепло и электричество как непрерывную материю, имеющую известную плотность.

Мы должны поэтому рассматривать эти количества как потоки. Соответствующие им силы: в случае теплоты — степень изменения температуры, в случае электричества — степень изменения потенциала.

Я достаточно сказал для установления различия между силами и потоками. В статическом электричестве результирующая сила в точке есть степень изменения потенциала, а поток — величина, которую до сих пор смешивали с силой и которую я назвал электрическим смещением.

В магнетизме результирующая сила также является степенью изменения потенциала, а поток есть то, что Фарадей называет магнитной индукцией и что измеряется, как это показал Томсон, силой, приходящейся на единичный полюс, помещённый в узкой щели, прорезанной перпендикулярно к направлению намагничения магнита. Я не буду задерживать Общество разъяснением этих величин, но должен коротко установить природу отношения силы и потока в его самой общей форме.

Когда один вектор является функцией другого вектора, отношение первого ко второму является вообще кватернионом, представляющим собой функцию второго вектора.

Когда второй вектор изменяется лишь по величине, а первый всё время ему пропорционален и остаётся постоянным по направлению, мы имеем важный случай линейной функции. Первый вектор тогда называется линейной векторной функцией второго.

Если α, β, γ — декартовы компоненты первого вектора, а a, b, c — компоненты второго, то

α=r

1

a+q

3

b+p

2

c,

β=p

3

a+r

2

b+q

1

c,

γ=q

2

a+p

1

b+r

3

c,

где коэффициенты p, q, r постоянны. Когда все p равны соответствующим q, функция называется самосопряжённой. Она может быть тогда представлена геометрически как соотношение между радиусом-вектором из центра эллипсоида и перпендикуляром на касательную плоскость.

Можно заметить, что даже здесь, где мы, казалось бы, достигли чистых сфер науки, не запятнанных физическими приложениями, один из векторов необходимо есть линия, тогда как другой определяется как нормаль к плоскости, как и во всех других, уже упомянутых парах векторов3*.

Другое различие между физическими векторами основано на ином принципе и разделяет их на векторы, определяемые по отношению к вращению. На замечательные аналогии между этими двумя классами векторов указал Пуансо в своём труде о движении твёрдого тела. Но наиболее замечательная иллюстрация этих аналогий основана на двух различных точках зрения, с которых можно рассматривать связь между электричеством и магнетизмом.

Гельмгольц показал нам в своей знаменитой работе о вихревом движении, как провести аналогию между электромагнитными и гидро-кинетическими явлениями, в которых магнитная сила представлена скоростью жидкости, родом поступательного движения, а электрический ток представлен вращением элементов жидкости. Он не предлагает этого в качестве объяснения электромагнетизма, так как хотя эта аналогия и совершенна по форме, но динамика обеих систем чрезвычайно различна.

Согласно Амперу и его исследованиям, электрические токи рассматриваются, однако, как род поступательного движения, а магнитная сила — как сила, зависящая от вращения. Я вынужден согласиться с этой точкой зрения, так как электрический ток связывается с электролизом и другими явлениями, в которых, несомненно, мы имеем поступательное движение, тогда как магнетизм связан с вращением плоскости поляризации света, которое, как показал Томсон, заключает в себе действительное вращательное движение.

Гамильтоновский оператор ∇, применённый к любой векторной функции, превращает её из поступательного движения во вращение или из вращения в поступательное движение, в зависимости от рода вектора, к которому он применяется.

В заключение я предложу на рассмотрение некоторые математические термины, служащие для обозначения результатов гамильтоновского оператора ∇. Я буду очень признателен тому, кто даст мне какой-нибудь совет по этому вопросу, так как я чувствую, что моя способность к установлению наименований очень слаба и что она может с успехом осуществляться лишь в сотрудничестве с другими.

∇

есть операция

i

∂

∂x

+j

∂

∂y

+k

∂

∂z

где i, j, k — единичные векторы, параллельные соответственно x, y, z. Результатом двукратного повторения на любом объекте этой операции является хорошо известный оператор (Лапласа):

∇²=

∂²

∂x²

+

∂²

∂y²

+

∂²

∂z²

.

Нахождением квадратного корня этой операции мы обязаны Гамильтону; но большинство данных здесь приложений и развитие теории этого оператора дано профессором Тэтом и напечатано в ряде статей, из которых первая помещена в «Proceedings of the Royal Society of Edinburgh» от 28 апреля 1862 г., а наиболее полная «О теоремах Грина и других, связанных с ними» — в «Transactions of the Royal Society of Edinburgh», 1869—1870 г.

Прежде всего я предлагаю назвать результату ∇² (оператор Лапласа) с обратным знаком концентрацией величины, к которой она применена.

Действительно, если Q есть скалярная либо векторная величина, являющаяся функцией положения точки, и если мы возьмём интеграл Q по объёму шара радиуса r, то, разделив его на объём шара, мы получим Q, среднее значение Q внутри шара. Если Q0 есть значение Q в центре шара, то при малом r

Q

0

-

Q

=Cr

2

∇

2

Q,