Страница 26 из 65
Отражение по горизонтали — это двусторонняя симметрия цветного узора, и таково же отражение по вертикали. Но если игнорировать цвета, мы увидим четырехстороннюю симметрию. Она получается четырехкратным поворотом фигуры на 90°.
Точно так же мы с вами раньше доказали теорему Пифагора, поэтому нераскрашенный орнамент своей симметрией напоминает пифагоров квадрат.
Теперь обратимся к более тонким рисункам: четырехцветные треугольные фигуры, похожие на флаги на ветру, отображает один очень простой вид симметрии, в двух направлениях. Можно сдвинуть раппорт по вертикали или по горизонтали. Волнистость здесь также играет роль. Редко можно найти узор, который не допускает отражения, потому что все треугольники поворачиваются вправо, а отражение развернуло бы их влево.
Теперь рассмотрим подробно все треугольные фигуры, чтобы понять, чем они различаются между собой. Во-первых, эти элементы образуют две большие группы, разделяемые по тону, — темную и светлую. Мы видим также симметрию вращения. Сосредоточьте внимание на центре, в котором сходятся вершины всех шести фигур. Обратите внимание, что светлая и темная фигуры чередуются. Темный треугольник можно повернуть так, чтобы он занял положение следующего темного треугольника, затем следующего и, наконец, вернулся в исходное положение, — тройная симметрия, вокруг которой вращается весь узор.
Но это не все возможные виды симметрии. Забудьте про цвет совсем. Обратите внимание: мы можем повернуть фигуру вокруг центра, потому что все треугольники одинаковы по форме. Это шестерная симметрия, которая изучена нами лучше всего, так как это симметрия снежинки.
Тут нематематик имеет право спросить: «Извините, конечно, но какое отношение все это имеет к математике? Неужели серьезные арабские мыслители тратили свое драгоценное время на такие игры, не говоря уже о современных ученых?» Дам неожиданный ответ: это не игра. Подобные эксперименты помогают понять то, с чем мы сталкиваемся ежедневно и ежечасно, потому что живем в трехмерном мире и все категории этого пространства неразрывны. Решая простые двумерные задачи, связанные с рисунками, мы открываем потаенные законы, управляющие нашим пространством. Они прежде всего касаются определенных видов симметрии, которые существуют не только в искусственных моделях. Они заложены в фундаментальные основы жизни, созданные самой природой, — в структуры атомов.
Наиболее явно эти структуры можно отследить в кристаллах. Посмотрите на необработанный исландский шпат. Вы удивитесь и невольно зададите себе вопрос: почему он имеет такую правильную форму? Почему его грани плоские? Но таковы кристаллы, мы привыкли видеть их правильными и симметричными, но почему? Они не сделаны человеком, такими их создает природа. Двумерная плоскость позволяет понять, как материя образуется из атомов, которые собираются в структуры один к одному. В конечном итоге они складываются в узоры, похожие на симметричные мавританские орнаменты, которые я проанализировал.
Возьмите, например, красивый куб пирита или самый изысканный кристалл флюорита, имеющий восьмигранную форму (кстати сказать, это также естественная форма алмаза). Их симметрия обусловлена трехмерностью пространства, в котором мы живем. И никакие структуры, созданные атомами, не могут нарушить этот важнейший закон природы. Как элементы узора, атомы в кристалле укладываются во всех направлениях. Таким образом, кристалл, как и узор, должен иметь форму, которая может расширяться или повторяться во всех направлениях до бесконечности. Вот почему грани кристалла могут иметь только определенные формы — в паттерне есть только симметрия. Возможна двусторонняя, четырехсторонняя, шестисторонняя симметрия и не более. Но не пятисторонняя. Вы не можете сделать так, чтобы атомы образовали пять треугольников, которые одновременно вписались бы в пространство.
Разработка различных орнаментов и исследование на практике возможностей симметрий пространства (по крайней мере в двух измерениях) стали великими достижениями арабских математиков. И у того мира есть замечательная законченность. Султан, обнаженные наложницы, евнухи и слепые музыканты создали замечательный формальный узор, в котором исследование существующего было идеальным, но который не менялся. По этой причине развитие мысли остановилось до тех пор, пока не пришло время для нового шага в восхождении человека.
Христианство начало отвоевывать свои позиции, и точкой отсчета стала Северная Испания с начала I тыс. н. э., точнее деревня Сантильяна, расположенная на прибрежной полосе, которую мусульмане не завоевали. Религиозность крестьян выражалась в простых изображениях, украшавших стены сельской церкви, — вола, осла, Агнца Божьего. Анималистические сюжеты были немыслимы в мусульманском искусстве. И не только изображения животных были разрешены, Божий сын — это ребенок, а Богоматерь — женщина и объект обращения с личной молитвой. Когда мы видим статую Девы Марии в процессии, мы попадаем в другую Вселенную: не абстрактных узоров, а жизни во всей ее полноте.
Когда христианство отвоевало Испанию обратно, возник замечательный калейдоскоп. Мусульмане, христиане и иудеи смешались и создали удивительную культуру из разных вероисповеданий. Плавильным котлом для них в 1085 году стал город Толедо. Отсюда в христианскую Европу попадали все классические труды, которые арабы привезли из Греции, Ближнего Востока и Азии.
Мы привыкли считать, что родина Возрождения — Италия. Однако зерно этой великой эпохи проросло в XII веке в знаменитой испанской школе переводчиков, расположенной в Толедо. Ее наставники и ученики переводили на латынь с забытого Европой греческого языка через арабский и иврит работы выдающихся древних ученых. В Толедо, среди других интеллектуальных нововведений, появились первые астрономические таблицы, энциклопедии звездного неба. Что характерно, таблицы составлялись в соответствии с христианскими канонами, но числа были записаны арабскими цифрами, что делает их почти современными.
Самый блестящий и наиболее известный из переводчиков — Герард Кремонский, который приехал в Толедо из Италии, чтобы отыскать копию книги Птолемея «Альмагест». Увидев кроме нужного фолианта труды Архимеда, Гиппократа, Галена, Евклида и других классиков греческой науки, он решил остаться в городе и перевести эти тексты на латынь.
Однако лично для меня самым замечательными, оказавшими влияние на дальнейшее развитие европейской и мировой науки стали переводы трудов человека, имевшего отнюдь не греческое происхождение. Я обратил на него внимание, потому что именно он понял, как важно воспринимать вещи в объеме. Ведь именно в этом вопросе греки тотально заблуждались. Этот человек, араб по происхождению, чей ум отличали оригинальность и смелость, жил в начале I тыс. до н. э., мы зовем его Альхазен. Его настоящее имя — Ибн аль-Хайсам. Греки думали, что свет поступает от глаз к объекту. Альхазен первым установил, что предмет отражает падающие на него лучи, которые человеческий глаз только воспринимает. Греки не могли объяснить, почему кажется, будто при движении размеры объекта (например, моей руки) изменяются. Арабский ученый ясно понял, что конус лучей, отражающихся от моей руки, будет становиться уже по мере того, как я стану отодвигать ее от вас. Если же я приближу руку к вам, пучок света, попадающий в ваши глаза, расширится. Это настолько просто, что удивительно, как ученые могли не уделять этому внимание (Роджер Бэкон здесь исключение) в течение почти 600 лет. Зато идею отраженного пучка лучей гораздо раньше оценили живописцы. Они построили на ней учение о перспективе. А перспектива — это новая идея, благодаря которой математика сейчас переживает расцвет.
Перспектива проникла в творчество художников Северной Италии, Флоренции и Венеции, в XV веке. Труд Альхазена «Книга оптики», перевод которого хранился в библиотеке Ватикана, снабжен комментариями Лоренцо Гиберти, автора великолепных бронзовых врат во флорентийском баптистерии. Но следует сказать, что он не был первым, кто исследовал перспективу. Вероятнее всего, первым к таким опытам приступил великий итальянский скульптор и архитектор Филиппо Брунеллески, который стремился не только реалистично показать объект, но и сохранить ощущение движения в пространстве.