Страница 27 из 111
- Ну, это нам ни к чему, - быстро ввернул Фило. - Мы ведь ищем точку на плоскости. Стало быть, хватит с нас и двух координат.
- Прекрасно! - неожиданно похвалил Мате. - Раз вы уразумели это, значит, поймете и то, как строятся графики уравнений. Итак, вычертим оси координат, иначе говоря - две взаимно перпендикулярные прямые. Одну из них - горизонтальную - назовем осью иксов, другую - вертикальную - осью игреков. Точку их пересечения обозначим буквой О. Начнем с уравнения параболы...
- Игрек равняется иксу в квадрате, - сейчас же припомнил Фило.
- Вот именно, - подтвердил Мате. - В чем особенность этого уравнения? А в том, что каким бы ни было числовое значение икса, игрек всегда будет равен квадрату этого числа. Допустим, что икс равен нулю. Тогда игрек равен...
- ...тоже нулю, - подхватил Фило.
- Правильно. Вот и найдем эту точку на плоскости.
- А ее искать нечего: вот она! - Фило ткнул пальцем в точку О.
- Совершенно верно. Иначе, точка с координатами ноль, - ноль совпадает с началом координат. Пошли дальше. Допустим, что икс равен единице. Тогда игрек тоже равен единице, так ведь? Найдем точку с координатами единица единица. Для этого отложим сперва единицу на оси иксов вправо от точки 0...
- В каких единицах длины? - озабоченно перебил Фило.
- В каких угодно. Но для удобства лучше все-таки не в километрах.
- Тогда в сантиметрах?
- Да будет так! Итак, вправо от точки О по оси иксов откладываем один сантиметр. Из конца этого отрезка восстанавливаем перпендикуляр также длиной в один сантиметр. Конец этого перпендикуляра и есть искомая точка с координатами один - один. Допустим теперь, что значение икс не единица, а двойка. Тогда игрек равен...
- Четырем!
- Браво! После этого гениального заявления вам остается лишь найти точку с координатами два - четыре самостоятельно.
Фило отложил два сантиметра от точки О по оси иксов, восстановил из конца этого отрезка перпендикуляр, равный четырем сантиметрам, и посмотрел на Мате победоносно, как актер, ожидающий бурных оваций.
Но оваций не последовало. Мате весьма сухо потребовал, чтобы Фило нашел точку при х = 3, потом х = 4, и отвязался от него только тогда, когда места на листке уже не осталось.
- Ну вот, - процедил он, окинув чертеж критическим оком. - Мы получили несколько точек, удовлетворяющих уравнению у = х2. Все они, естественно, лежат на нашей параболе. Стало быть, остается соединить их плавной кривой и график данного уравнения, то бишь парабола, перед нами!
Фило недовольно осмотрел вычерченную Мате линию.
-Позвольте, - сказал он заносчиво, - какая же это парабола? Помнится, там, на базаре, вы показали мне кривую, напоминающую рогатку, а тут...
- А тут половина рогатки, - засмеялся Мате.
- Но куда же девалась вторая половина?
- Вторая находится по левую сторону оси игреков, где координаты х отрицательны. А так как отрицательное число, возведенное в квадрат, становится положительным, значит, игрек тоже будет у нас всегда числом положительным. Вот и выходит, что координаты игрек и справа и слева от вертикальной оси совершенно одинаковы. А раз так, значит, левая часть параболы симметрична правой. Дорисуем ее, если хотите, - и целая рогатка в вашем распоряжении. А теперь, когда с параболой покончено, тем же способом вычертим гиперболу, ху = 2.
Фило почесал в затылке. Сразу видно, что тут придется попотеть!
- Почему вы думаете? - осведомился Мате.
- Так ведь в первом уравнении икс и игрек были по разные стороны равенства, а тут в общей куче...
- Раз это вас смущает, отделим их друг от друга. Нетрудно выяснить, что у = 2/х. Заменим первое уравнение вторым - и дело с концом!
- Ага! - кивнул Фило. - Тогда начнем, как полагается, с х = 0...
- Стоп! Как известно, деление на нуль запрещено. Так что начнем с х=1. Тогда у = 2/1, или попросту двум...
- Значит, находим точку с координатами один - два, - подхватил Фило, орудуя карандашом.
- Дальше.
- Дальше нахожу точку при х = 2. Игрек при этом равен единице. При х = 3 игрек равен двум третям... Постойте, как же так? - Фило запнулся. Выходит, чем больше икс, тем меньше игрек?
- Правильно подмечено! - одобрил Мате. - Чем больше икс, тем меньше игрек, и обратно: чем меньше будет становиться икс, стремясь к нулю, тем больше будет становиться игрек, стремясь к бесконечности. А теперь соединим, наконец, найденные нами точки одной линией - и гипербола готова.
- К тому же не наполовину, а целиком, - удовлетворенно констатировал Фило. - Точь-в-точь как та, что вы нарисовали в Исфахане.
- Должен вас огорчить. То, что я нарисовал в Исфахане, полной гиперболой не было, как не был полной конической поверхностью и тот бумажный фунтик, который мы с вами рассекали воображаемыми плоскостями. Потому что полная коническая поверхность состоит не из одного, а из двух одинаковых фунтиков, соприкасающихся вершинами. И, стало быть, в каждом из этих фунтиков образуется только одна ветвь гиперболы, в то время как полная гипербола состоит из двух ветвей.
- Значит, на нашем чертеже должна быть еще одна ветвь. Но где же она? - недоумевал Фило.
- Ее нетрудно получить, придавая иксам отрицательные значения. Только, в отличие от параболы, игрек при этом тоже будет принимать не положительные, а отрицательные значения.
- Так, так, так, - озабоченно пробормотал Фило. - Икс отрицательный. Значит, откладывать его следует по оси иксов влево. Но вот вопрос: на какой оси откладывать отрицательные игреки?
- Это уж пустяки. Положительные игреки расположены вверх по оси иксов, стало быть, отрицательные...
- Вниз! - сообразил Фило и принялся откладывать отрицательные координаты точек -1, -2; -2, -1; -3, -2/3 и, наконец, -1/2, -4. - Теперь, сказал он, полюбовавшись своей работой, - объединим все это хозяйство общей линией, и вторая ветвь гиперболы налицо. Ура, ура и в третий раз ура! Остается выяснить главное: для чего все это делалось?
- Для того, чтобы понять, каким образом Менехм решал задачу об удвоении куба, - пояснил Мате. - А решал он ее так: изображал обе кривые на одном чертеже, рассматривая при этом только ту часть координатной плоскости, на которой эти кривые пересекаются. Точка пересечения их обозначим ее буквой А - удовлетворяет и первому и второму уравнениям, а следовательно, и уравнению х2 = 2. Опустим из этой точки перпендикуляр на ось иксов, обозначив основание перпендикуляра буквой В, и искомая нами длина ребра удвоенного куба найдена: это отрезок OB. Ему-то и равен х. Вот как конические сечения помогли Менехму решить одни из видов кубического уравнения. А Хайяму они помогли решить все нерассмотренные до него виды.