Страница 26 из 111
Ознакомившись с задачей, Платон якобы сказал, что боги задали ее делийцам не потому, что им не нравится прежний жертвенник, а в укор и назидание грекам, которые мало думают о математике и пренебрегают геометрией.
- Стало быть, задача показалась ему очень трудной, - заключил Фило. Но почему? Увеличьте ребро куба в два раза - вот вам и удвоение!
Мате сказал, что решение поистине царское, и Фило задрал было нос, но выяснилось, что таким образом пытался решить задачу об удвоении куба критский царь Минос. При этом объем получился у него не в два, а в восемь раз больше прежнего, ибо объем куба равен кубу его ребра, а два в кубе как будто восемь...
Фило, разумеется, сразу сник, но тут же сообразил, что длину ребра можно найти и другим способом. Допустим, объем прежнего куба равен единице. Тогда объем нового должен быть равен двум. Значит, извлеките корень кубический из двух, и дело в шляпе.
На сей раз Мате признал, что Фило рассуждает правильно, но вот беда: извлечь корень кубический из двух можно только приближенно. Ведь это число иррациональное, иначе говоря, несоизмеримое с единицей!
- Ничего, - не сдавался Фило, - можно небось подобрать и такую длину ребра, чтобы корень извлекался. Пусть, например, ребро куба равно двум. Тогда объем будет равен восьми, а удвоенный объем - шестнадцати. Извлечем корень кубический из шестнадцати...
- И снова получим иррациональное число. Ведь что такое шестнадцать? Это восемь умноженное на два. Из восьми корень кубический извлекается, а из двух - нет. А так как при удвоении множитель два под корнем неизбежен, значит, подобрать длину ребра, которая была бы числом рациональным, нельзя:
- Странно, странно и в третий раз странно. Выходит, удвоение куба вообще невозможно?
- Невозможно с помощью слепой линейки и циркуля. Но есть в геометрии и другие способы. Вместо того чтобы извлекать корень, который нельзя вычислить точно, можно найти длину ребра непосредственно на чертеже. Именно так и поступали древние греки. А так как работа эта достаточно кропотлива, Эратосфен решил упростить ее и придумал прибор, который находит длину ребра чисто механически.
- Платон, наверное, сказал бы, что Эратосфен сплутовал, - добродушно предположил Фило.
- Это вы хорошо заметили, - похвалил Мате. - Эратосфен тоже был убежден, что Платон бы его по головке не погладил.
- Откуда вы знаете?
- От самого Эратосфена. Он написал сочинение "Платоник", где немалое место занимает задача об удвоении куба. Способы решения ее обсуждают греческие математики Архит, Менехм, Эвдокс и, конечно, сам Платон. И когда заходит речь о применении механического прибора, Эратосфен, искусно подделываясь под стиль Платона, заставляет его высказать отрицательное отношение к подобному способу.
- Знаете, - неожиданно заявил Фило, - на месте Платона я бы рассуждал точно так же. По-моему, людям не следует избавлять себя от необходимости думать.
- Возможно, - кивнул Мате, - но у Платона были на этот счет и другие соображения, связанные с его мировоззрением. Как философ-идеалист, он презирал все материальное, преходящее, осязаемое. Грубое плотницкое приспособление принижало в его глазах науку, предметом которой, по его мнению, должно быть только отвлеченное, высокое, бесконечное. Кроме того (это уж моя собственная догадка!), всякий механический прибор неминуемо связан с движением. Вот и прибор Эратосфена основан на передвижении планок. А в те времена вводить движение в геометрию считалось дурным тоном. Так полагали и Платон, и ученик его Аристотель, а вслед за Аристотелем друг наш Хайям. Между прочим, доказательство пятого постулата, принадлежащее ал-Хайсаму, Хайям критиковал как раз за то, что в нем есть элемент движения...
- Хорошо, что вы вспомнили о Хайяме! - обрадовался Фило. - Любопытно бы узнать, как он умудрялся решать кубические уравнения с помощью конических сечений?
- Прекрасный вопрос! - воодушевился Мате. - Только что собирался рассказать вам о способе удвоения куба, придуманном Менехмом.
- В огороде бузина, а в Киеве дядька! При чем тут Менехм? Я же вас про Хайяма спрашиваю! Про Хайяма, который жил полтора тысячелетия спустя!
- Тем не менее между ними прямая связь. И сейчас вы это поймете, если только нальете мне еще стакан вашего несравненного чая.
СНОВА КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
-Так вот, - продолжал Мате, принимая из рук Фило заново наполненный стакан, - вы уже сами установили, что задача об удвоении куба сводится к вычислению корня кубического из двух. На языке современной алгебры, то есть пользуясь буквенными обозначениями, это можно записать так: , что вытекает из известного еще в Древнем Вавилоне уравнения x3 = 2. Менехм предложил записать это уравнение в виде двойной пропорции:
1/х = х/у = у/2.
- Не понимаю, - сказал Фило, - откуда взялся игрек?
Мате возвел очи к небу. О Господи! Он и забыл, что для Фило алгебраические преобразования - китайская грамота.
- Исключите из этих двух пропорций смущающий вас игрек, и вы снова получите x3 = 2,- объяснил он, доставая блокнот. - Смотрите. Из пропорции 1/х = х/у следует, что у = х2. Подставьте в равенство ху = 2 вместо игрека x2, и получится, что х3 = 2. Теперь вы видите, что от преобразования, сделанного Менехмом, наше первоначальное уравнение ничуть не изменилось.
- Зачем же было переливать из пустого в порожнее?
- Как - зачем? Да ведь вместо одного уравнения мы получили два: ху = 2 и у = х2.
- Подумаешь, прибыль!
- И очень большая. Потому что ху = 2 - это не что иное, как уравнение равносторонней гиперболы, а у = х2 - уравнение параболы!
- Конические сечения!
- В том-то и дело. И, стало быть, теперь мы можем изобразить наше уравнение в виде кривых на чертеже. Для этого начертим сперва оси координат...
- Чего-чего?
- Оси координат, - раздельно повторил Мате. - Пора о них знать.
- Вот еще! - фыркнул Фило, пылая благородным негодованием. - Мы этого в школе не проходили.
- Не мы, а вы, - уточнил Мате. - Вы не проходили. Но теперь вам от этого не отвертеться. Так вот, достопочтенный Санчо, соблаговолите запомнить, что оси координат существуют для того, чтобы определять положение точки на плоскости или в пространстве. Само собой разумеется, что для нахождения точки на плоскости достаточно двух координат. Если же точка находится в пространстве, которое, как известно, трехмерно, тут уж потребуются три координаты.