Страница 107 из 111
Фило вопросительно смотрит на товарища. Тот, почесывая переносицу, говорит, что прежде всего следует установить число всех возможных комбинаций, затем - число благоприятных и наконец, разделив второе на первое, получить искомую вероятность.
- Что касается общего числа комбинаций, то это и я могу, - говорит Фило. - Надо вычислить число сочетаний из четырнадцати рыбок по восьми. А это... Мате, где ваш блокнот? Это можно записать так: равно...
- Постойте, - не соглашается Мате, - зачем вычислять из 14 по 8? Не лучше ли воспользоваться известной формулой, где , то есть ?
- В самом деле! Как это я забыл? Но вот вопрос: каким образом это С из четырнадцати по шести вычислить?
- Да так, как это делал Ферма, когда вычислял число сочетаний из восьми по три. Вспомните: он выписывал первые восемь натуральных чисел и отделял в этом ряду слева и справа по три числа -1, 2, 3 и 8, 7, 6. Затем он составлял дробь, где в числителе стоит произведение правой тройки чисел, а в знаменателе - левой...
- Не продолжайте, - перебивает Фило, - я уже все понял. Выписываем натуральный ряд чисел от 1 по 14, отделяем шесть чисел слева и столько же справа и составляем дробь: 14х13х12х11х10х9/1х2х3х4х5х6, что после сокращения дает 77 х 39. Итак, = 77 х 39. Да, но как же мы вычислим число благоприятных случаев? - Фило мрачно взирает на блокнот. - Мате, Асмодей, что же вы молчите?
- Рассчитываете на меня, как на запасного игрока? - язвит Мате.
- Не будьте столь непреклонны, мсье! - заступается бес. - Не можем же мы отказать в помощи новичку, который делает первые шаги в научной комбинаторике! Так вот, мсье Фило, если две золотые рыбки уже выловлены, то из двенадцати оставшихся к ним надо добавить шесть любых. Иначе говоря, вычислить число сочетаний из двенадцати по шести, что равно вот чему:
= 12х11х10х9х8х7/1х2х3х4х5х6 =77/12.
От избытка признательности Фило посылает ему воздушный поцелуй.
- Благодарю, благодарю и в третий раз благодарю! Но дальше я уж сам, хе-хе... Делим число благоприятных комбинаций на число всех возможных: на , и искомая вероятность у нас в кармане:
p=
- Как, так мало? - Фило явно разочарован. - Стало быть в вашей сумке, Асмодей, нет ни одной золотой рыбки?
- Но-но-но, мсье! Не забывайте, с кем имеете дело! Тридцать три процента для черта - вероятность громадная!
Он щелкает пальцами, и на столе появляется наполненный водой аквариум. А спустя секунду в нем уже плавают восемь прехорошеньких рыбок. Две золотые, окруженные ресничками плавников, пламенеют среди них, как ненароком сорвавшиеся с неба и все еще не остывшие звездочки. Мате рассматривает их с нескрываемым удовольствием. Уж этот Асмодей! Где ему обойтись без фокусов...
- По-моему, он работает не хуже Акопяна, - восторгается Фило. - Как вы думаете, Мате?
Бес дурашливо раскланивается.
- Мсье, вы мне льстите! Однако программа наша еще не окончена. Оркестр, туш! Ваш выход, мсье Мате! Да, да, не смотрите на меня такими удивленными глазами. Надо же мне познакомиться с вашими собственными числовыми изысканиями!
- Полно, - смущается тот. - После Паскаля, Лейбница и Ньютона...
- Не боги горшки обжигают, мсье, - подбадривает черт. - Думаете, я не знаю, что один из ваших арифметических треугольников пригодился для решения некоего дифференциального уравнения, а другой - для расчета авиационного вала?
- Дела давно минувших дней. Знали бы вы, что я придумал месяц назад! Однажды я заинтересовался изосуммарными числами...
- Чем-чем? - переспрашивает Фило.
Оказывается, Мате изобрел это название сам. Приставка "изо" означает "равные". Следственно, изосуммарные числа - такие, у которых сумма цифр одинакова. Вот, например: 6, 15, 24, 33, 105, 204, 600. Сумма цифр у каждого из этих чисел равна 6. И значит, все они изосуммарные.
Для краткости Мате назвал сумму цифр индексом. И вот ему захотелось узнать, сколько имеется изосуммарных чисел с разными индексами, то есть равными единице, двойке, тройке и так далее. Сперва он стал их разыскивать среди однозначных чисел, затем среди двузначных, трехзначных, четырехзначных... А из найденных построил таблицу. Без таблицы, сами понимаете, в таком деле не обойтись.
-Перед вами таблица распределения изосуммарных чисел, - продолжает Мате, раскрывая блокнот. - Здесь буква "k" - значность чисел. Она у меня помещается в левом столбце. Буква "i" - индекс числа. Индексы я отложил на верхней горизонтали. Как видите, индекс не превышает девяти, в то время как
ki 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 1 3 6 10 15 21 28 36 45 4 1 4 10 20 35 56 84 120 165 5 1 5 15 35 70 126 210 330 495 6 1 6 21 56 126 252 462 792 1287 -/ 1 7 28 84 210 462 924 1716 3003 8 1 8 36 120 330 792 1716 3432 6435 9 1 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870 10 1 10 55 220 715 2002 5005 11440 24310
значность может быть любая, до бесконечности.
- А почему индекс, то есть сумма цифр, тоже не может возрастать до бесконечности? - сейчас же прилипает Фило.
- Все в свое время! Итак, вы видите, что количество изосуммарных чисел с индексом 1 всегда равно единице для любой значности.
- Стойте, - перебивает Фило. - Ваша таблица - это же числа треугольника Паскаля!
- Молодец, что заметили. У меня и в самом деле получился треугольник Паскаля, хотя и в форме прямоугольника, то есть в том виде, как его изображал Тарталья.
- Значит, - размышляет Фило, - по этой таблице можно заранее узнать, сколько существует, скажем, четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна, допустим, пяти.
- Конечно. Надо только найти в ней число, стоящее в четвертой строке и в пятом столбце. Это - 35. Само собой, число это всегда можно выразить через формулу сочетаний.
- Каким образом?
-Подумайте сами. А я хочу сказать о другом. Если вы помните особенности Паскалева треугольника, то легко ответите на такой вопрос: как, НЕ ВЫСЧИТЫВАЯ, сразу определить по таблице, сколько всего изосуммарных чисел с каким-либо индексом (разумеется, не превышающим девяти) есть среди чисел всех значностей, начиная с однозначных и кончая любой заданной?
С ответом, однако, никто не торопится, и потому Мате делает это сам. Оказывается, вопрос действительно несложный. Вот, например, мы хотим узнать количество изосуммарных чисел с индексом 5, начиная с единицы по семизначные числа. Для этого, казалось бы, следует сложить все числа пятого столбца, начиная с 1 по число 210, которое стоит в седьмой строке. Но обнаруживается, что узнать это число можно и не прибегая к сложению, ибо сумма этих чисел находится в соседнем, шестом столбце, все в той же седьмой строке. Это 462. Вот сколько изосуммарных чисел с индексом 5 есть среди всех чисел от единицы до десяти миллионов.