Страница 5 из 57
В сегодняшних терминах Сиена располагалась на Тропике Рака, воображаемой линии, опоясывающей мир и проходящей через северную Мексику, южный Египет, Индию и южный Китай (ее можно увидеть на большинстве глобусов). Для всех точек на ней характерна одна необычная особенность: солнце находится прямо над головой только один раз в году, в самый долгий световой день – 21 июня, день летнего солнцестояния. Те, кто живет к северу от Тропика Рака, никогда не видят солнце непосредственно над головой, и предметы всегда отбрасывают тени. Те же, кто живет в Северном полушарии к югу от Тропика Рака, видят солнце прямо над головой дважды в год: один раз – перед днем летнего солнцестояния и один раз – после. Непосредственная дата зависит от того, где расположена данная местность. Причина упомянутого явления заключается в положении Земли, ось которой наклонена по отношению к плоскости орбиты ее обращения вокруг Солнца.
Однако совсем другое занимало сейчас мысли Эратосфена. Для него главным было то, что в момент, когда солнце стоит прямо над головой в Сиене, оно не находится в зените ни в одном другом месте к северу и к югу от нее, включая и Александрию. Во всех остальных местах гномон солнечных часов отбрасывает тень. Длина же тени должна зависеть от кривизны земной поверхности. Чем больше кривизна, тем длиннее будет тень в таком месте, как, например, Александрия.
Эратосфен обладал достаточными познаниями в геометрии, чтобы разработать весьма изящный эксперимент, на основе которого он смог вычислить меру названной кривизны и, исходя из этого, определить протяженность земной окружности.
Чтобы оценить красоту данного эксперимента, нет нужды знать что-либо конкретное о том, как Эратосфен проводил его. Это очень удачное обстоятельство, так как нам практически ничего неизвестно об условиях его проведения. Эксперимент известен нам лишь по далеко не полным описаниям современников и учеников Эратосфена, многие из которых, очевидно, даже не до конца понимали то, что именно они описывают. Нет необходимости знать что-либо о логике рассуждений ученого: что непосредственно пробудило его интерес к данной проблеме, какими были его первые шаги в разработке будущего эксперимента, встречал ли он какие-либо препятствия на своем пути, как он реализовал свой проект и к каким дальнейшим научным изысканиям это привело. Конечно, можно лишь сожалеть о подобном недостатке информации, так как может сложиться впечатление, что идея пришла к Эратосфену в виде некого озарения, как гром среди ясного неба. Но как бы то ни было, отсутствие всех этих деталей не мешает нашему пониманию сути эксперимента. У нас не возникает необходимости предаваться интеллектуальным спекуляциям, углубляться в сложные математические вычисления или строить догадки, основанные на сомнительных эмпирических данных. Красота эксперимента Эратосфена состоит в том, что он доказал возможность производить измерения космического масштаба, измеряя длину крошечной тени.
Поразительную простоту и элегантность иллюстрируют две диаграммы на рис. 2 и 3.
Во время солнцестояния, когда солнце в Сиене находится прямо над головой ( А ), тени исчезают – они падают по направлению прямо к центру Земли (линия АВ ). Тени в Александрии ( Е ) в этот момент также падают в том же самом направлении ( CD ), так как солнечные лучи условно параллельны друг другу. Но так как земная поверхность искривлена, они падают под небольшим углом, который мы назовем х . Небольшой угол (короткая тень) означал бы, что земная поверхность относительно плоская и что, следовательно, Земля имеет очень большую окружность. Большой угол (или длинная тень) будет означать сильное искривление и, соответственно, небольшую окружность. Однако существует ли способ точного измерения длины земной окружности по длине тени? Такой способ дает геометрия.
Рис. 2. Угол между лучом солнца в тот момент, когда оно находится в зените в Александрии, и вертикальным шестом (гномоном) в Сиене (х) равен углу между земными радиусами (y), проведенными к Александрии и Сиене. Следовательно, отношение длины дуги окружности EF к полному кругу таково же, что и отношение длины дуги AE (расстояние от Сиены до Александрии) к окружности Земли
Евклид доказал, что внутренние накрест лежащие углы, образуемые прямой, пересекающей две параллельные прямые, равны. Таким образом, угол х , образуемый тенями в Александрии, равен углу у с вершиной в центре Земли, образуемому двумя лучами, проходящими через Александрию и Сиену ( ВС и ВА ). Это, в свою очередь, означает, что соотношение между длиной дуги гномона ( FE ) и полной окружности вокруг гномона (см. рис. 2) такое же, как и соотношение между расстоянием от Сиены до Александрии и длиной земной окружности. Эратосфен пришел к выводу, что если измерить названное относительно небольшое расстояние, то можно вычислить длину земной окружности. Хотя Эратосфен мог произвести свои измерения целым рядом разных способов, историки науки уверены, что он проделал их с помощью греческой разновидности солнечных часов, так как дуга их тени достаточно четко видна. Солнечные часы, или скафис, представляли собой бронзовую чашу с закрепленной в центре иглой – гномоном, тень которого медленно скользила вдоль линий на внутренней поверхности чаши, соответствующих часам. Однако Эратосфен воспользовался часами необычным способом. Его интересовало не положение тени на часовых отметках, а угол тени, отбрасываемой гномоном в полдень в день летнего солнцестояния. Вначале он измерил, какую часть этот угол составляет в полной окружности (измерение окружности с помощью деления ее на 360 равных частей, называемых градусами, вошло в общую практику лишь примерно столетие спустя после Эратосфена). Или, что практически то же самое, он мог измерить отношение длины дуги, отбрасываемой гномоном на поверхности сосуда, к длине всей окружности сосуда.
Рис. 3. Вероятно, Эратосфен измерял, какую часть всей окружности солнечных часов составляет длина тени (EF), то есть какую часть полного угла составляет угол (х) между лучом и отвесной линией
В полдень того же дня Эратосфен выяснил, что сектор, занимаемый тенью, составляет 1/50 полной окружности (мы бы сейчас сказали: составляет 7,2 градуса). Таким образом, расстояние между Александрией и Сиеной равнялось пятидесятой части протяженности всего меридиана. Умножив 5000 стадий на 50, он получил 250 000 стадий для длины земной окружности. Позже, внеся некоторые уточнения, Эратосфен увеличил цифру до 252 000 стадий (в переводе на современные меры длины и то и другое число – это чуть больше 25 000 миль). Причина, по которой Эратосфен внес данное уточнение, не совсем ясна, но, скорее всего, это как-то связано с его стремлением упростить расчет географических расстояний.
Эратосфен делил круг на шестьдесят частей, и на каждую такую часть приходилось по равному количеству в 4200 стадий при общей протяженности земной окружности в 252 000 стадий. Но какую бы из двух названных величин мы ни использовали, 250 000 или 252 000 стадий (при том что, как мы уже знаем, не существует абсолютно точной формулы перевода стадий в современные меры длины), результат, полученный Эратосфеном, лишь незначительно отличается от величины, которая считается правильной сегодня, – 24 900 миль.
Важнейшим условием успешности эксперимента Эратосфена была его картина Вселенной. Без нее он не смог бы прийти к своей идее. К примеру, в древнекитайском картографическом тексте «Хуайнаньцзы» («Философы из Хуайнани») тоже отмечается, что гномоны одинаковой высоты, но находящиеся на разных (север – юг) расстояниях друг от друга, в одно и то же время отбрасывают тени различной длины15. Исходя из предположения, что Земля плоская, автор трактата объясняет названную разницу тем, что гномон, отбрасывающий более узкую тень, находится ближе к положению солнца на небе, и приходит к выводу, что разницу в длине теней можно использовать для расчета высоты неба!