Сборник работ

§ 3. Научные теории бесконечности и апофатика

Но наиболее ярким «репрезентантом» апофатики в науке являются различные теории бесконечности и вообще всё, что связано с бесконечностью. И это неслучайно. Бесконечность в науке есть как бы отражение идеи христианского (библейского) Бога. Для греческой античности, в лице её наиболее авторитетных представителей, категория бесконечного не может входить в науку. «Бесконечное не существует ни в космосе, ни в уме», — говорил Аристотель. Бесконечное сближается греческой мыслью с неоформленным, текущим, со становлением, стоящим на границе бытия и небытия: бесконечное деление отрезка, бесконечное увеличение числа и т. д.[142]. В силу этого бесконечное — если даже и признавать его существование — непознаваемо. Другими словами, отношение к бесконечному в греческой античности именно апофатическое.

С христианством в европейскую культуру приходит бесконечный Бог: всемогущий, всеведущий, всеблагой. В христианской теологии начинаются первые спекулятивные построения вокруг понятия бесконечности. Постепенно они проникают и в науку. Начинаются попытки катафатического подхода к бесконечности. Пока богословие, укоренённое в прямом духовном опыте богообщения, контролируемое соборным церковным сознанием, бдительно сохраняет трезвое представление о границах катафатического подхода, твёрдо помнит о непостижимости Божества в Нём Самом, спекулятивные построения, связанные с бесконечностью, не превосходят, так сказать, должной меры и соотносятся с традицией. Но со времени позднего средневековья ситуация в западном христианстве меняется. В богословии всё большую роль начинают играть отвлечённые рациональные построения (например, Николая из Кузы) с одной стороны, и в высшей степени нетрезвые мистические откровения — с другой (например, Мейстер Экхарт, Я.Беме и др). И у обеих этих линий всегда есть общий предмет для рассуждений: бесконечность. Поэтому возникающие в XVII столетии дифференциальное и интегральное исчисления совершенно неслучайны: почва для этих всходов уже подготовлена несколькими веками многообразных спекуляций о бесконечном. В то же время, дифференциальное и интегральное исчисления входят в науку достаточно «революционно», заглушая победными сообщениями о решении всё новых задач негромкие голоса скептиков, безуспешно пытающихся напомнить об апориях и парадоксах, неотделимых от понятия актуально бесконечного (Б.Паскаль, Дж. Беркли).

Однако собственно катафатики бесконечного сразу не получается. Три века дифференциальное и интегральное исчисления остаются, скорее, просто методом, чем строгой научной теорией: есть алгоритмы, но нет понимания. Нет, в частности, и строгой теории действительного числа. Положение начинает меняться только во второй половине XIX столетия. Предлагаются, в частности, несколько конструкций числового континуума — и все они используют актуальную бесконечность. Наконец, с 70-х годов XIX века Г.Кантор начинает публиковать свои статьи по теории множеств, которая должна была стать именно наукой (арифметикой, анализом) бесконечного. В бесконечном, которое до этого выступало как единое, непознанное начало, действительно проводятся некоторые важные различения. Кантор выделяет: Абсолют — бесконечное в Боге, трансфинитное — бесконечное в сотворённом мире, и трансфинитные числа — предмет его теории, арифметика бесконечного. Он трезво формулирует (вначале), что наука не занимается Абсолютом, предметом богословия. По поводу бесконечного в природе у Кантора были некоторые научные гипотезы, которые, однако, никогда и никем не были проверены[143]. Оставались только трансфиниты, теория множеств. Здесь с самого начала были обнаружены серьёзнейшие парадоксы. Один из них — парадокс Бурали-Форти (1897) — показывал противоречивость самого понятия шкалы всех порядковых чисел (ординалов). Кантор пытается «вытолкнуть» этот парадокс за границу теории множеств новым различением: констистентных и неконстистентных множественностей. Теория множеств по определению занимается только консистентными множественностями, т. е. такими, которые «можно мыслить без противоречия». А множество всех ординалов — неконсистентно… Но остаётся вопрос: а как проверять бесконечное множество на консистентность? Почему мы уверены, что даже самое простое бесконечное множество N = {1,2,3….} есть консистентное множество (Р.Дедекинд)? Ответов на это получено не было…

Кроме того, Кантор и его ученики, которые довольно быстро выделили из построений учителя аксиоматику теории множеств, настаивали, чтобы бесконечность подчинялась определённым требованиям. Одно из них есть знаменитая аксиома выбора, формулировка которой кажется довольно естественной: если у нас есть бесконечное (скажем, счётное) множество непустых множеств, то можно образовать новое множество, содержащее только по одному элементу каждого из данных. При всей, казалось бы, простоте этого утверждения любые попытки как-то объяснить его, не говоря уже доказать, оказывались безуспешными. Положение напоминало ситуацию со знаменитым V постулатом Евклида и, исходя из опыта обсуждения этого постулата, из построения неевклидовой геометрии, естественно вставал вопрос: а, может быть, возможна теория множеств и без аксиомы выбора?.. Благодаря работам К.Геделя (1939) и П.Коэна (1963) была показана независимость аксиомы выбора от остальных аксиом теории множеств Цермело-Френкеля. Со временем вместо аксиомы выбора были предложены другие аксиомы (например, аксиома детерминированности), которые порождали другие, неканторовские, теории множеств и построенные на последних довольно необычные «неканторовские математики».

Аналогичная история была связана с так называемой континуум-гипотезой. Кантор безуспешно пытался доказать, что следующим кардиналом после мощности множества натуральных чисел является мощность стандартной арифметической модели континуума. Однако ни ему самому, ни его ученикам этого не удалось сделать. В 1963 году Коэн показал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в теории множеств Цермело-Френкеля.

Фундаментальное значение для философии науки имела теорема Геделя о неполноте, утверждающая, что в любой достаточно развитой аксиоматической теории (содержащей арифметику натуральных чисел) имеются истинные, но недоказуемые утверждения. Континуум-гипотеза и оказалась как раз таким утверждением. А теория множеств, тем самым, оказалась неполной и, более того, — непополняемой теорией, то есть, теорией, для которой нельзя привести исчерпывающего списка аксиом. Теорема Геделя обозначила естественные границы применимости аксиоматического метода. В то же время она как бы указывала границы и научному разуму вообще. Грубо говоря, теорема о неполноте утверждает, что не всё истинное можно доказать, не всё истинное открывается дискурсивному разуму. Есть вещи, которые понятны для нас, но недоказуемы: доступ к ним недискурсивен, сверхнаучен. Здесь само собой вспоминается знаменитое высказывание Паскаля из его «Мыслей»: «Сердце имеет свои резоны, которых разум совсем не знает»[144]. Многое понятное оказывается для нас, тем не менее, таинственным… Так и бесконечность, которая традиционно, со времён греческой науки, интерпретировалась апофатически, и которую наука нового времени попыталась «приручить», понять позитивно, вписав в рамки аксиоматического метода, всё таки проявила свою апофатическую природу: через неисчерпаемость непополняемых теорий…

Этими «понятными», но, в то же время, таинственными утверждениями оказываются для нас, прежде всего, аксиомы научных теорий. Лейбниц, этот величайший рационалист всех времён, пытается преодолеть данность аксиом через введение принципов более высокого порядка, которые должны были бы объяснить сами научные аксиомы. Он называл их архитектоническими принципами: принцип непрерывности (исключающий из мироздания все возможные «зияния»), принцип оптимума (наш мир есть наилучший из возможных), принцип законопостоянства[145]. К ним можно добавить принцип противоречия и принцип достаточного основания. Принципы эти действительно играют огромную роль в научном познании и, прежде всего, в сегодняшней науке. Через формулировку этих положений великий философ действительно углубил наше понимание познания, выделив в нём важные регулятивные начала науки, без которых она, собственно, никогда и не существовала, и которые естественно связывают её с другими сферами культуры. Но Лейбниц хотел большего. Мир, полностью объяснённый с помощью этих принципов, должен был бы представлять собой торжество научно-философской катафатики… Именно в такой перспективе и строится лейбницевская «Монадология». Но в лейбницевском мире нет творения из ничего, грехопадения, искупления; нет, вообще говоря, и трансцендентности Бога и человека — всего того, что составляет сердцевину христианского учения. Всё это связано с тайной свободы — Бога и человека, с тайной личности. И вообще говоря, для описания всего этого требуется другой язык[146]… Но и сам Лейбниц очень ярко и убедительно показывал, как тесно связаны идея свободы и бесконечности…[147] Именно поэтому бесконечность, входя в науку, неизбежно взламывает все утопические проекты чисто научной катафатики и приносит с собой веяния другого мира, в котором существует творчество, любовь, жертва, милосердие… Наука через свои архитектонические принципы, — прежде всего, закон достаточного основания и связанный с ним принцип недостаточного основания — заключает все свои построения в некотором ареале, вытесняя всё чуждое за его пределы. Но, однако, и наука, пытаясь найти обоснование своим аксиомам и началам, подходит, временами, к границам этого ареала, открывая апофатическую бездну бесконечной Божественной и богоданной человеку свободы.

142

Подробнее см. в моей книге: Катасонов В.Н. Боровшийся с бесконечным. Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г.Кантора. М., 1999.

143

См. в моей книге: Катасонов В.Н. Боровшийся с бесконечным... Гл.IV, §3.

144

Pensee de Pascal. P. 291// Pensee de Pascal et de Nicole. Paris, 1852. Добавим к этому еще одну цитату из Паскаля: «Мы познаем истину не только разумом, но также и сердцем; именно этим последним способом мы познаем исходные начала. И необходимо чтобы разум основывал свой дискурс как-раз на этих познаниях сердца и инстинкта. Сердце чувствует, что пространство имеет три измерения и что чисел бесконечное множество; а разум только потом доказывает, что не существует двух квадратов чисел, из которых один в два раза больше другого. Начала — чувствуются, утверждения — доказываются; оба рода — с достоверностью, хотя и различными путями» (Цит. по статье: Duhem P. La Science Allemende. Librairie Scientifique A.Herma

145

О принципе законопостоянства см. в моей книге: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века... Гл. II, § 2.

146

Современный греческий богослов Христос Яннарас пишет об этом: «Здесь потребен иной язык, способный передать качественные различия вещей и живого опыта, характер личных взаимоотношений, знание, которое не может быть стопроцентно заверено органами чувств. Церкви удалось найти такой язык, позаимствовав его вначале у греческой философии, отчеканившей свою терминологию и способы выражения мысли в течении многовековых споров о смысле жизни и бытия. Однако язык Церкви не остался достоянием исключительно философствующего интеллекта, но выразился также в форме песнопения, гимна, богослужения, праздников и таинств. Сейчас мы затрагиваем одну лишь его философскую оболочку, но хотим подчеркнуть вновь и вновь: вся семантическая полнота этого языка может быть постигнута лишь в богослужебной практике Церкви, в живом опыте общения в Теле Христовом» (Яннарас Х. Вера Церкви. Введение в Православное богословие. М., 1992. С.103–104).

147

См. например: Два отрывка о свободе // Лейбниц Г.В. Сочинения в четырех томах. Т.1. М., 1982. С.307–317.