Страница 19 из 25
Итак, возникла математическая теория, описывающая различия между реальностью и расчетом. Причина таких различий объяснялась по-разному – недостатком наших знаний, наличием множества мелких неучтенных причин, принципиальной неопределенностью параметров, придуманных нами для описания Природы… Но вне зависимости от этого успехи применения вероятностного подхода впечатляли. Например, сейчас нам ясно, как из множества случайных (то есть заранее неопределенных) исходов могут складываться исходы почти достоверные, мы научились грамотно вычислять случайные ошибки, поняли, как строить математические модели явлений в условиях неопределенности. В рамках теории вероятности сравнением результатов наблюдений, проведенных с погрешностью, и предсказаний науки проверяются научные теории и гипотезы, и по результатам измерений наиболее точно оцениваются значения характеристик и параметров, описывающих реальность.
Вероятность из области точных наук распространяется все шире и шире, и вот уже к ней обращаются почти в любой ситуации, где в условиях проведения исследования имеется хоть какая-нибудь неоднозначность. Конкретный жизненный пример: какова вероятность того, что я сейчас отравлюсь «этой вашей заливной рыбой»? Можно, конечно, рассмотреть мысленный эксперимент, в котором бесконечный ансамбль личностей поедает рыбу, изготовленную в заданных условиях, – тогда процент выживших и даст искомую вероятность. Но как мне поможет знание того, что 99 из 100 дегустаторов не пострадают, если рыбу предстоит кушать именно мне? Ведь вероятность работает только для ансамбля множества и непригодна для описания единственного, конкретного объекта.
Кроме того, вероятностное описание годится лишь в так называемых условиях статистической регулярности, когда частоты появлений тех или иных событий не меняются от эксперимента к эксперименту. А вот здесь возникает очень интересный вопрос. Как-то всегда молчаливо предполагается, что уж все реальные явления со случайными исходами – такие, например, как возникновение погрешности измерений – этой регулярностью обладают. Но спросите любого, кто когда-нибудь занимался настройкой экспериментального оборудования, и он обязательно вспомнит день, когда вдруг ошибки измерений переставали вести себя «в рамках дозволенного», неожиданно выросли и стали «забивать» полезный сигнал. В арсенале каждого есть также и воспоминания о безуспешных попытках, вооружившись отверткой и паяльником, вернуть обезумевший шум в привычное русло, кончавшихся тем, что по неизвестной причине все само собой приходило в норму.
Фантастическое предположение, что характеристики погрешностей могут сами по себе изменяться со временем, причем синхронно в достаточно больших областях Вселенной, заставило ряд исследователей (в частности, научную группу под руководством профессора С. Э. Шноля) провести эксперименты по изучению шумовых процессов в разных точках земного шара. И обнаружилось, что, возможно, есть причины сомневаться в адекватности описывающей их стохастической модели. Складывается такое впечатление, что весь мир «дышит» – изменяет какие-то свои, неизвестные нам, параметры, и это отражается во всплесках шумовых сигналов, отмечающихся одновременно и в середине Тихого океана, и в подмосковном городке, и в Заполярье. Все это настолько непривычно для сложившихся на сегодняшний день представлений о реальности, что сообщения об этих исследованиях появляются пока лишь в очень осторожной форме.
В 60-х годах XX века американский радиоинженер А. Заде опубликовал статью, которая положила начало новой науке, впоследствии получившей название нечеткой математики. В ней речь шла о так называемых нечетких множествах. В обычной математике множество элементов считается заданным, если про любой элемент известно, принадлежит он этому множеству или нет. Но можно придумать такие множества, про которые этого нельзя сказать однозначно.
Вот, например, множество высоких людей. Как его задать? Ну, если человек имеет рост под два метра, то, скорее всего, он принадлежит этому множеству. А вот если метр восемьдесят, кто-то и засомневается, стоит ли его считать высоким, – видали же мы все баскетболистов… Можно сказать, что он принадлежит этому множеству «до некоторой степени». Еще один пример – известный «парадокс кучи зерна». Два зернышка – не куча. Три – тоже, скорее всего, нет. Вот миллиард – ну, ясно, куча. А в промежутке?
В первом примере важно то, что чем выше человек, тем больше возможность включения его в «нечеткое множество высоких людей». Так же и во втором: чем больше зерен, тем больше возможность назвать их кучей. И хотя эта возможность какого-либо утверждения или события в нечеткой математике задается некоторым числом (нулем – если что-то невозможно, единицей – если вполне возможно, числом между нулем и единицей – если возможно до некоторой степени), конкретное ее числовое значение совершенно не важно, а используется исключительно для того, чтобы сравнить его со значением возможности другого события и выяснить, какое из них более возможно. Таким образом, с точки зрения нечеткой математики весь мир можно представить в виде событий, выстроенных в цепочку, в начале которой идут самые возможные события, а в конце – совершенно невозможные.
На первый взгляд такая математика кажется чрезвычайно бедной. Ну, действительно, как можно описать реальность, если нельзя использовать знания о количественных характеристиках явления, а только о порядке, определяемом его возможностью? Но тем не менее оказалось, что в рамках моделей теории возможности можно решать множество важнейших проблем, например, проблему оптимального выбора, ту самую, частные задачи которой мы постоянно и порой неосознанно решаем в своей жизни.
Действительно, ведь, для того чтобы выбрать стратегию поведения, влекущую наименьшие потери, нам в первую очередь важно знать, что все другие стратегии хуже, и только потом мы интересуемся, насколько хуже. А для ответа на первый вопрос и нужно лишь построить цепочку стратегий, упорядоченных по возможности потерь.
Ну а какое отношение теория возможностей имеет к обсуждаемой нами проблеме точности научного описания реального мира? Оказалось, что и для таких «бедных» теоретико-возможностных моделей можно построить и методы проверки гипотез, и методы оптимального оценивания. Причем, несмотря на то что построение теоретико-возможностных моделей требует значительно меньше исходных сведений, чем это нужно для теоретико-вероятностных, результат подчас не хуже, а во многих ситуациях и лучше.
Но все же остается вопрос: можно ли вообще обойтись без нечеткости, можно ли в принципе определить «бесконечно точно» числовые значения тех параметров, которыми мы пытаемся описать мир в его математических моделях? Можно ли надеяться на то, что когда-нибудь, пусть через бесконечное число поколений, мы обретем знание обо всех механизмах действия природы и научимся бесконечно точно измерять и вычислять? Ответ в какой-то степени дает физика микромира, объявляющая, что фундаментальным свойством микрообъектов является неопределенность значений их параметров. Чтобы описать этот факт математически, в квантовой физике используют стохастические модели, в которых «амплитуды вероятностей» проявляются в частоте повторяющихся исходов или в экспериментах, в которых участвуют большие ансамбли объектов. Тем самым свойства объектов связываются с процессом их наблюдения. А если нет возможности наблюдать последовательности явлений? Тогда можно предположить, что сами объекты микромира «нечетки» и характеризуются лишь возможным набором значений с указанием порядка от более возможных к менее возможным. В таком нечетком мире нет полной предопределенности, его будущее размыто и может быть реализовано во множестве вариантов.