Страница 2 из 18
Давно было ясно, что основное препятствие к вычислению π — это присутствие J. В предыдущую эпоху развития математики ради устранения J не ограничились бы даже двумя секущими на прямоугольной площади, а произвели бы вдобавок отделение меньшей части
от
большей
Ныне же одни предлагали исключить J на основании процедуры, состоящей из двух действий, одно из которых называется «получением достатка», а второе — «обращением остатка»; до её применения, однако, дело не дошло, поскольку J сделались нерешительными. Другие сторонники данного метода предпочли бы, чтобы J исключались
in
toto
toto
tumtum
Затем предлагалось устранить J посредством
канонизанта
а
Для оценки π предлагались и другие процедуры, которых нам нет нужды здесь рассматривать. Согласно одной из них, π должна считаться заданной величиной: эта теория была поддержана многими выдающимися мужами в Кембридже и кое-где ещё, но стоило её применить, как оказалось, что J отвечают отрицательным знаком — а это, разумеется, не способствовало делу.
Теперь мы приступаем к описанию новейшего метода, который увенчался блистательным и неожиданным успехом и который может быть назван как
Математики уже исследовали геометрическое место точек HPL и ввели эту функцию в свои расчёты. Это, однако, не способствовало получению столь чаемого численного значения — даже при переносе HPL в противоположную сторону уравнения с изменением знака. Процедура, которую мы собираемся описать, заключается главным образом в подстановке G на место
Р
Пусть функция φ(HGL) [22] развёрнута в ряд; допустим, что его сумма есть абсолютно твёрдое тело, двигающееся
по
Т
Разложим теперь φ(HGL) по теореме
Маклорена
φ(0) = 0
φ'(0) =
С
φ''(0) = 2·J
φ'''(0) = 2·3·H
φ''''(0) = 2·3·4·S
φ'''''(0) = 2·3·4·5·P
φ''''''(0) = 2·3·4·5·6·J
и далее представленные буквами величины повторяются в том же порядке.
Приведённое выше доказательство взято из учёного трактата под названием «
Augusti
de
fallibilitate
historicorum
занимает
последовательность
Теперь мы имеем уравнение [26]:
φ(HGL) = 0 + C + J + H + S + P + J.
Такое суммирование дало минимальное значение пая; оно, однако, рассматривалось лишь как первое приближение, и вся процедура повторялась под давлением EAF, что дало для пая частное максимальное значение. Последовательно повышая EAF, в конце
концов
π = S = 500,00000.
Данный результат значительно отличается даже от
предуказанной
поздравить
ДИНАМИКА ПАРТИЙНОЙ ГОРЯЧКИ
Был чудный осенний вечер; пока земля уворачивалась от огромного светила, слепившего её с запада, в атмосфере началось великолепное действо оптической аберрации, и как раз об эту пору вдали показались две прямые, пролагавшие свой утомительный путь по плоской поверхности. Из них старшая благодаря длительной практике не худо справлялась со столь мучительным для более молодой и импульсивной линии делом — ровно лежать между своими крайними точками; молодая же в девической порывистости непрестанно отклонялась и принимала вид то гиперболы, то какой-нибудь иной столь же романтичной и необузданной кривой. Обеим довелось жить и любить; судьба и встрявшая в их отношения поверхность по сию пору удерживали их порознь, но теперь этому пришёл конец: их пересекла некая прямая, образовав при этом два внутренних угла, в сумме меньших чем два прямых [28]. Мгновение было незабываемым, и пока они продолжали своё путешествие, вдоль плоскости изохронными звуковыми волнами дрожал шёпот: «Да! По продолжении мы, наконец, встретимся!» (См. Курс математики Якоби, гл. 1.)
Мы начали с вышеприведённой цитаты, поскольку она является яркой иллюстрацией того преимущества, которое даёт введение человеческого элемента в ту область Математики, что ранее лишь наводила скуку. Кто скажет, какие зародыши романтических приключений, до сих пор недоступные наблюдению, не могут залегать в её глубине? Кто способен утверждать, что параллелограмм, по поводу которого, только что рассчитанного нами в нашем невежестве и начерченного на бумаге, мы заявили во всеуслышание, будто нам известен полный набор его свойств, не может с рождения пылать страстью к внешним углам, сочувствовать внутренним или угрюмо роптать на собственную неспособность вписаться в круг? Какому математику из когда-либо склонявшихся над гиперболой, чтобы раскромсать несчастную кривую секущими прямыми в попытке доказать некое свойство, которое в конце концов, возможно, есть просто-напросто клевета, не чудилось под конец, будто обиженная линия в молчаливом упрёке воздевает свои асимптоты или с презрительной жалостью мигает ему своим единственным фокусом?
Подобные вопросы породили нижеследующие странички. Пусть неотделанные и торопливые, они всё же более полно, чем это пытались сделать другие авторы прежде, выставляют напоказ некоторые явления, происходящие от света, или «просвещения», рассматриваемого как особая сила.
Июнь, 1865
18
всем скопом (лат).
19
В ортодоксальном иудейском праве Галахе это слово означает существо неопределённого пола (наподобие
андрогина
toto — косвенный падеж не от tumtum, а от totum ‘всё, весь’, ‘целое’
20
Первоначально возникнув во французском, где означал канонизирующего (
церковн
Сильвестр
Сильвестр
Сальмона
Подобно Доджсону,
Сильвестр
Стройк
М., «Наука», С. 237.).
Якоба
Сильвестру
ковариант
конгредиентный
канонизанта
Сильвестр
канонизант»
католикант»
В свою очередь и Доджсон не пренебрегал созданием новых терминов, когда это казалось ему необходимым (
см
21
Слово «иррациональный» тут, опять же, имеет двойной смысл. Употребляясь в качестве бытового синонима понятиям «неразумный», «противоречащий здравому смыслу» (и тогда символ π «пи» везде следует прочитывать как «пай»), это слово есть также особый термин теории чисел. Числа подразделяются, во-первых,
на
собой то
ражения
Иррациональность числа π доказал в 1767 г. Иоганн Ламберт, исследуя сходимость разложения в цепную дробь.
Для получения численного значения числа π с заданной точностью разложением в каноническую цепную дробь применяли процесс многократного чередования двух действий, которые и в самом деле носили названия «получение достатка» и «обращение остатка»: достатком называется целая часть числа π (т. е. 3), а остатком — дробная (0,14159265…), обращение остатка есть запись последней в виде дроби 1/(7,062515…), у которой теперь достаток равен 7, а
π=3+1/(7+ 1/(15+ 1/(1+ 1/(292+⋯)))).
Числа, являющиеся корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами (а таково любое число, выражающееся в квадратных радикалах), называются алгебраическими числами. Во второй половине XIX века Георг Кантор доказал, что алгебраических чисел меньше, чем вещественных, из чего следовало, что должны существовать иррациональные числа, не являющиеся алгебраическими. Такие числа предвидел ещё Эйлер, назвавший их (в 1775 г.) трансцендентными, т. е. ‘выходящими за пределы’. Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел, однако, не позволяло назвать и тем более вычислить хотя бы одно трансцендентное число. Но затем (в 1871 г.) Эрмит доказал трансцендентность числа e. Число π является вторым числом в истории математики, для которого была установлена трансцендентность —
Линдеманом
Доджсон об этом ещё не знал; свой памфлет он написал в 1865 г. Однако тот факт, что, как трансцендентное, число π есть такое выражение пая, которое и невозможно свести к целочисленному значению наподобие 40, 400 и т. п. или ряду (числовой последовательности) целочисленных значений никаким алгебраическим преобразованием, является прекрасным дополнением к изложению истории потуг оксфордского истеблишмента.
22
Буквы HGL — это инициалы Генри Джорджа Лидделла, главы (декана) как собрания каноников Христовой Церкви, так и относящегося к ней колледжа (по отечественному словоупотреблению, его «ректора»)
. Доджсон говорит, что функция декана Лидделла в деле Джоветта заключалась в уступке давлению и отказе от моральных обязательств ради заявленной собранием каноников целесообразности (см. прим. [5]).
23
Здесь e — от англ. expediency, A — от Able, а E — от Enlightened. При переводе памфлета везде было важно сохранить обозначения абстрактных понятий по их первым английским буквам, поскольку эти буквы в дальнейшем складываются автором в инициалы участвовавших в деле
Джоветта
24
Математические методы, упомянутые выше, использовали медленно сходящиеся ряды либо сложные операции извлечения квадратного корня. Впервые быстро сходящийся ряд для вычисления числа π получил Леонард Эйлер (автор самого обозначения «π»), разложив в ряд Тейлора (частный случай — ряд
Маклорена
Мэчина
arctg
arctg
25
Название, скорее всего, является вымышленным и шутливым; оно переводится с латыни как ‘[книга императора] Августа «О
погрешимости
погрешимости
fallibilitate
historicorum
infallibilitate
papae
Ватиканском
26
Оно получено после подстановки φ(0), φ'(0), ... φ''''''(0) в ряд
Маклорена
27
Байрон, «Дон Жуан», песнь XI, строфа 60. В этой строфе говорится о том, что недоброжелательная рецензия ускорила безвременную смерть Джона Китса. Сам же памфлет есть геометризированное изложение соперничества Уильяма Гладстона и Гэторна Харди за право представлять Оксфордский университет в парламенте, а также критика в целом так называемой «системы пропорционального представительства» — механизма, по которому университет избирал своих членов в парламент вплоть до 1950 года, когда соответствующая привилегия, пожалованная ему в 1604 году, была упразднена.
28
Иными словами, с этого момента прямые перестали быть параллельными.