Страница 83 из 107
С течением времени отклики на статью Мандельштама были смешанные. На самом деле имеется интуитивный аргумент, — в который верят многие струнные теоретики, — сильно наводящий на мысль, что если теория вообще существует, она будет давать конечные ответы. В то же время, некоторые математики, которых я знал как экспертов по сложным техническим проблемам, отвергали то, что утверждение было полностью доказано.
Я не слышал много о проблеме конечности много лет. Она просто растворилась в основании, тогда как вся область перешла к другим проблемам. Время от времени могли появляться статьи в Интернете, обращающиеся к этой проблеме, но я не уделял им много внимания. На самом деле, я вообще не помню сомнений в конечности теории вплоть до недавнего времени. Большинство разработок, которые я отслеживал в последние двадцать лет, и значительное количество моих собственных трудов в этой области основывались на предположении, что теория струн конечна. Я слышал много сообщений струнных теоретиков за эти годы, которые начинались с утверждения, что теория дала «конечную квантовую теорию гравитации», прежде чем идти заниматься текущими проблемами. Было написано много книг и сделано много сообщений для публики, утверждающих, что теория струн есть осмысленная квантовая теория гравитации, и явно или неявно утверждалось, что теория конечна. Поскольку я был занят моей собственной работой, я верил, что конечность теории струн доказана (или почти доказана вплоть до выполнения некоторых технических деталей, о которых могут беспокоиться только математики), и это было главной причиной продолжения моего интереса к ней.
В 2002 году меня попросили написать и представить обзор всей области квантовой гравитации на конференцию, организованную в честь Джона Уилера, одного из основателей этой области. Я решил, что лучшим способом обзора по теме будет выписать список всех главных результатов, установленных до сегодняшнего дня различными подходами. Я надеялся сделать объективное сравнение того, насколько хорошо каждый подход проявил себя в движении по направлению к цели теории квантовой гравитации. Я написал черновик статьи и, естественно, одним из результатов в моём списке была конечность теории суперструн.
Чтобы закончить статью, я, конечно, должен был найти подходящие ссылки на статьи, где был продемонстрирован каждый из результатов списка. Для большинства из них это не вызвало проблем, но я столкнулся с неприятностью в моём поиске правильной цитаты для доказательства конечности теории струн. Рассмотрев различные источники, я нашёл ссылки только на оригинальную статью Мандельштама — ту самую, о которой я говорили с математиками, что она не полна. Я нашёл несколько других статей по проблеме, но ни одна из них не утверждала конечного результата. Тогда я начал спрашивать известных мне струнных теоретиков, лично и по электронной почте, о статусе конечности и где я мог бы найти статью, содержащую доказательство. Я расспросил дюжину или около того струнных теоретиков, молодых и старых. Почти все, кто ответил, сообщили мне, что результат верен. Большинство не имели цитаты для доказательства, а те, кто имели, дали мне статью Мандельштама. В разочаровании я обратился к обзорным статьям — эти статьи пишутся для обзора главных результатов по теме. Из более чем пятидесяти обзорных статей, к которым я обратился за консультацией, большинство или говорили или подразумевали, что теория струн конечна[117]. Для цитирования я нашёл только более ранние обзорные статьи или статью Мандельштама. Я нашёл одну обзорную статью русского физика, объясняющую, что результат не доказан[118]. Но было тяжело поверить, что он был прав, а все обзоры хорошо известных людей, большинство из которых я знал и восхищался ими, были не правы.
Наконец, я спросил моего коллегу по Пограничному институту Роберта Майерса. Он сообщил мне со своей обычной освежающей прямотой, что он не знает, была ли конечность полностью доказана, но он полагает, что некто по имени Эрик Д′Хокер может знать. Я навестил его, и в конце концов нашёл, что Д′Хокер и Фонг только в 2001 году преуспели в доказательстве конечности второго порядка приближения (см. главу 12). До того момента в течение семнадцати лет с 1984 года не было достигнуто существенного прогресса. (Как я отмечал в главе 12, через четыре года после статьи Д′Хокера и Фонга достигнут некоторый прогресс, главным образом, стараниями Натана Берковица. Но его доказательство было связано с дополнительными недоказанными предположениями, так что, хотя это был шаг вперёд, это ещё не было полное доказательство конечности.) Так что факт в том, что известна конечность только первых трёх из бесконечного числа членов приближения. За их пределами, является ли теория струн конечной или бесконечной было (и остаётся) просто не известным.
Когда я описал эту ситуацию в моей обзорной статье, она была встречена недоверием. Я получил несколько электронных писем, не все из которых были вежливы, утверждавших, что я ошибся, что теория конечна, и что Мандельштам доказал это. Я получил аналогичные впечатления, поговорив со струнными теоретиками; некоторые из них были шокированы, услышав, что доказательство конечности никогда не было завершено. Но их шок был ничто по сравнению с шоком тех физиков и математиков, с кем я поговорил, которые не были струнными теоретиками и которые верили, что теория струн является конечной, поскольку им сообщили, что это так. Для всех нас представление о конечности теории струн много сделало для нашего признания её важности. Никто из нас не мог вспомнить, чтобы он когда-либо слышал, что струнный теоретик указывал на эту проблему как на нерешённую.
Я также почувствовал нечто необычное при представлении статьи, которая претендовала на детальную оценку доказательств поддержки различных предположений теории струн. Определённо, я думал, это было нечто, чем должен периодически заниматься один из лидеров области. Этот вид критической обзорной статьи, подчёркивающей ключевые нерешённые проблемы, является общим в квантовой гравитации, космологии и, я подозреваю, в большинстве областей науки. Поскольку это не делалось ни одним из лидеров теории струн, это осталось сделать кому-нибудь вроде меня, как бы «инсайдеру», который, чтобы принять такую ответственность, имеет технические знания, но никаких социологических обязательств. И я это сделал из-за моих собственных интересов в теории струн, в которой я одно время почти исключительно работал. Тем не менее, некоторые струнные теоретики расценили обзор как враждебный акт.
Карло Ровелли из Центра теоретической физики в Марселе является моим хорошим другом, который работает в квантовой гравитации. Он имел такие же ощущения, когда он включил утверждение, что конечность теории струн никогда не была доказана, в диалог, который он написал, инсценировав дебаты между различными подходами к квантовой гравитации. Он получил так много электронных писем, декларировавших, что Мандельштам доказал конечность теории, что он решил написать самому Мандельштаму и спросить его точку зрения. Мандельштам уже ушёл в отставку, но быстро откликнулся. Он объяснил, что он доказал то, что где-либо в теории не возникает определённый вид бесконечного члена. Но он сказал нам, что он в самом деле не доказал, что сама теория конечна, поскольку могут появляться другие виды бесконечных членов[119]. До настоящего момента ни один из таких членов не наблюдался когда-либо ни в одном проделанном вычислении, но никто не доказал, что они не могли бы появиться.
Ни один из струнных теоретиков, с кем я обсуждал эту проблему, не решил, узнав, что конечность теории не доказана, остановить работу над теорией струн. Я также сталкивался с хорошо известными струнными теоретиками, которые настаивали, что они доказали конечность теории десятилетия назад и не опубликовали результаты только вследствие некоторых технических проблем, которые остались нерешёнными.
117
Вот несколько примеров:
J. Barbon, [http://arxiv.org/abs/hep-th/0404188], Eur. Phus. J., C33: S67-S74 (2004);
S. Foerste, [http://arxiv.org/abs/hep-th/0110055], Fortsch. Phys., 50: 221–403 (2002);
S.B. Giddings, [http://arxiv.org/abs/hep-ph/0501080];
J. Antoniadis and G. Ovarlez, [http://arxiv.org/abs/hep-th/9906108].
Редким примером обзора с тщательным и корректным (на данный момент) обсуждением проблемы конечности является L. Alvarez-Gaume and M.A. Vazquez-Mozo, [http://arxiv.org/abs/hep-th/9212006].
118
Это статья Андрея Маршакова (УФН, 172(9): 977-1020 (2002) или Phys. Usp., 45: 915-54 (2002), [http://arxiv.org/abs/hep-th/0212114]).
Я извиняюсь за технический язык, но, возможно, читатель сможет увидеть суть:
«К сожалению, десятимерная суперструна, претендующая на роль наиболее успешной из существующих струнных моделей, строго определена, вообще говоря, лишь на древесном и однопетлевом уровнях. Начиная с двухпетлевых струнных поправок в амплитуды рассеяния все выражения в пертурбативной теории суперструн по сути дела не определены. Причиной этого являются хорошо известные проблемы с супергеометрией или интегрированием по „суперпартнёрам“ модулей комплексных структур. В отличие от бозонного случая, где мера интегрирования фиксируется теоремой Белавина-Книжника, определение меры интегрирования по супермодулям (или, точнее, нечётным модулям суперкомплексных структур) всё ещё является нерешённой задачей… Пространства модулей комплексных структур римановых поверхностей некомпактны, и интегрирование по таким пространствам требует специальной заботы и дополнительных определений. В бозонном случае, где интегралы по пространствам модулей расходятся, результат интегрирования… определён, вообще говоря, с точностью до „граничных членов“ (вкладов вырожденных римановых поверхностей или поверхностей меньшего рода (с меньшим числом „ручек“)). В случае суперструны возникают гораздо более существенные проблемы из-за того, что само понятие „границы пространства модулей“ не определено. На самом деле интеграл по грассмановым нечётным переменным „не знает“, что такое „граничный член“. Это является фундаментальной причиной того, что мера интегрирования в фермионной струне плохо определена и зависит от „выбора калибровки“ или отдельного выбора „нулевых мод“ полей… в действии… Для двухпетлевых вкладов эти проблемы могут быть решены „эмпирически“ (…), но, вообще говоря, суперструнная теория возмущений не является в математическом смысле определённой процедурой. Более того, данные проблемы не являются „чистыми“ проблемами формализма, те же самые трудности возникают в менее геометрическом подходе Грина и Шварца…»
119
Вот электронное письмо от Мандельштама, датированное 8 июня 2006:
«По поводу моей статьи о конечности n-петлевой струнной амплитуды позвольте мне, во-первых, заметить, что расходимости могут появляться только тогда, когда пространство модулей вырождается. Я исследовал точки вырождения, связанные с „дилатонной“ расходимостью, с которой имеют дело струнные теоретики. Я показал, что аргументы, применявшиеся ранее к однопетлевой амплитуде, могут быть распространены на n-петлевую амплитуду, а также, что соответствующие неоднозначности в определении контура интегрирования по однородным супермодулям могут быть разрешены с использованием однозначного предписания, согласующегося с унитарностью. Я согласен, что это не обеспечивает математически строгое доказательство конечности, но я уверен, что это работает в физических проблемах, которые могли бы привести к бесконечностям. Я не исследовал другого источника бесконечностей, известного с ранних дней дуальных моделей, а именно использования мнимого времени. Множитель exp(iEt), где E есть разница между текущей и начальной энергиями, явно может расходиться, если интегрирование проводится по мнимому времени. Есть уверенность из физических соображений, что такие бесконечности могут быть удалены аналитическим продолжением на реальное время. Это было явно показано для беспетлевой [древесной] и однопетлевой амплитуды, и было показано, что аналитическое продолжение, приводящее к конечности, может быть определено для двухпетлевой амплитуды.»