Страница 22 из 30
Кантор также сформулировал очень важное понятие счетного множества. По определению, множество А называется счетным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между А и подмножеством . В основе этого определения лежит очень простая идея, которую мы часто используем в повседневной жизни.
Когда мы заявляем, что места в зале кинотеатра пронумерованы, мы говорим о взаимно однозначном соответствии между подмножеством натуральных чисел и множеством кресел и сопоставляем каждому креслу число.
Мы уже показали, что множество целых чисел является счетным. Далее Кантор получил поистине удивительный результат: множество рациональных чисел также является счетным. Он доказал, что существует столько же рациональных чисел, сколько и натуральных. Чтобы установить соответствие между натуральными и рациональными числами, Кантор использовал настолько простую схему, что остается только удивляться, почему никто не сделал этого раньше. Возможно, причина в том, что никто не считал это возможным, так как это противоречит элементарной интуиции.
Схема, придуманная Кантором, такова. Нужно построить таблицу рациональных чисел (напомним, что речь идет о дробях) следующим образом: в первой строке записываются дроби, числитель которых равен 1, во второй — дроби, числитель которых равен 2, в третьей — 3 и т. д. Вычеркнем из каждой строки повторяющиеся дроби. Например, 2/2 — это то же самое, что 1/1 или 3/3, 2/4 — то же, что и 1/2, и т. д. Построив таблицу, обойдем все числа в порядке, указанном стрелками, начиная с 1/1. Мы обойдем все рациональные числа ровно один раз. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между натуральными и рациональными числами устанавливается следующим образом:
1 —> 1/1
2 —> 1/2
3 —> 2/1
4 —> 3/1
5 —> 1/3
…
Самое удивительное в том, что мы установили взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, одно из которых является дискретным (множество натуральных чисел), а другое — плотным (множество рациональных чисел).
Здесь бесконечность начинает понемногу приподнимать завесу тайны над своими удивительными загадками. Интуиция подсказывает, что счетными могут быть только дискретные множества, и тот факт, что плотное множество также является счетным, был поистине удивительным. Мы подсознательно ассоциируем счетность с возможностью найти следующий элемент для данного, что невозможно в плотном множестве. Если мы рассмотрим предыдущую таблицу, то увидим, что 1/1 является первым числом, а следующим будет 1/2. Однако множество дробных чисел является плотным, поэтому между 1/1 и 1/2 находится бесконечное множество чисел. Так, нам известно, что 1/4 находится между 1 и 1/2, а в нашем перечне это число занимает шестое место.
* * *
МЫСЛИТЬ — ЭТО БОЛЬШЕ, ЧЕМ ГОВОРИТЬ
Согласно теории множеств Кантора, множество всех возможных слов, как произнесенных, так и записанных на бумаге, является счетным. Если учитывать, что множество знаков (букв, символов и т. д.) в языке конечно, то очевидно, что на его основе можно сформировать счетное множество. Другое дело — множество вещей, о которых мы можем подумать. Оно, очевидно, не является счетным. Мы можем представить, например, множество окружностей на плоскости, имеющее мощность континуум. Таким образом, все, что мы можем сказать, поддается упорядочению, а все, о чем мы можем подумать, не поддается или поддается лишь частично. Следовательно, можно упорядочить лишь часть наших мыслей, а большинство из них принадлежит к миру хаоса.
Буквы алфавита образуют ограниченное и, следовательно, счетное множество.
* * *
По этой причине с открытым Кантором понятием счетности оказалось тесно связано понятие непрерывности. Неизбежно возник вопрос: если расширить множество рациональных чисел иррациональными, будет ли полученное множество счетным?
Иными словами, можно ли говорить, что М — счетное множество?
Нет, это не так, и Кантор это доказал с помощью метода, схожего с тем, который он использовал при доказательстве счетности множества , но намного более сложного. Также, используя метод доведения до абсурда, он показал, что множество (0, 1) всех вещественных чисел, заключенных между 0 и 1, не является счетным, следовательно, М также не может быть счетным. Таким образом Кантор создал серьезный прецедент, сыгравший определяющую роль в математике XX века. Достаточно сказать, что этот прецедент стал частью доказательства знаменитой теоремы Геделя о неполноте.
Ты всем известен, но никем не охвачен, ибо умеренное кажется большим, большое — бесконечным и еще раз бесконечным.
«Герой». Бальтазар Грасиан (1601–1658)
Кантор знал, что ни вещественная прямая, ни какой-либо из ее отрезков не являются счетными. Далее он совершил гигантский шаг и встретился с бесконечностью лицом к лицу.
Напомним, что для того чтобы получить множество вещественных чисел, необходимо добавить к множеству рациональных чисел множество иррациональных чисел, которые нельзя представить в виде частного двух целых. Множество вещественных чисел также является бесконечным и плотным. Однако оно не является счетным, в отличие от двух предыдущих, то есть этому множеству никоим образом нельзя поставить в соответствие ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, …
Поэтому Кантор сформулировал следующую задачу: имеются бесконечные множества, в каждом из которых число элементов одинаково, например множества натуральных, четных или рациональных чисел. Однако в этом случае появляется новое множество вещественных чисел, которое также является бесконечным, но в нем больше элементов, чем в этих трех множествах. Здесь Кантор вводит одну из самых революционных идей за всю историю математики: возможно, не все бесконечности одинаковы, а некоторые из них больше, чем другие? В качестве отправной точки он использовал бесконечное множество натуральных чисел. Затем он доказал, что множество вещественных чисел не является счетным и содержит больше элементов, чем , то есть больше, чем множества натуральных и рациональных чисел.
Кардинальное число множества он обозначил как алеф-один — Так родился раздел математики, посвященный трансфинитным числам.
* * *
ПРОВИДЕЦ ИЗ IX ВЕКА
Сабит ибн Курра (ок. 836–901) был авторитетным арабским ученым, жившим в IX веке. Известно, что он родился в Харране, в Междуречье. Помимо большого числа текстов по богословию и философии, он создал любопытный математический трактат, посвященный, главным образом, арифметике. В нем ибн Курра, продемонстрировав невиданную для своего времени смелость, рассматривает возможность существования различных видов бесконечности в том смысле, что некоторые ее виды могут быть больше других. Таким образом, ибн Курру можно считать подлинным предшественником Кантора.