Страница 6 из 13
Что заставило Галилея применить математику для описания падения тел? Это вопрос из тех, которые легко задать, но на которые трудно ответить. Что такое вообще математика? Как она стала наукой?
Математические объекты — плоды чистого мышления. Мы не найдём параболу в природе. Парабола, окружность или прямая, — это идеи. Мы облекаем их в определения: «Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Парабола — все точки плоскости, равноудалённые от данной прямой и данной точки». Раз у нас есть определение, мы можем определить свойства кривой. В школе нас учили, что такой вывод может быть формализован и представлять собой доказательство — выстроенные в цепь умозаключения. В этом формальном процессе не остаётся места наблюдению или измерению[16].
Рисунок может иллюстрировать доказанные свойства, но он всегда неточен. Это верно и для знакомых нам кривых: для спины потягивающейся кошки или тросов, на которых подвешен мост. Это лишь приблизительно напоминает математические кривые, и, если приглядеться, мы всегда найдём отклонения от идеальных математических форм. Итак, математика рассматривает нереальные объекты, которые, тем не менее, отражают реальный мир. Каким образом? Отношение между реальным миром и миром математики неочевидно даже в простейших случаях.
Что общего у математики и гравитации? Математика играет в разгадке тайны времени роль не меньшую, чем гравитация, и следует знать, как математика соотносится с природой в случае падающих тел. Иначе, когда слышишь утверждение типа: «Вселенная — четырёхмерное пространственно-временное многообразие», ты становишься добычей мистификаторов, которые преподносят метафизические фантазии под научным соусом.
Несмотря на то, что в природе не встречаются идеальные окружности или параболы, у них есть общее с материальными объектами свойство: устойчивость по отношению к манипуляциям. Число — отношение длины окружности к её диаметру — это идея. Но только лишь идея была высказана, как значение стало объективным. Были попытки узаконить значение, и они продемонстрировали наше глубокое непонимание. Мы не можем изменить значение, как бы нам ни хотелось. То же верно для свойств кривых, да и любого математического объекта.
Но кривые и числа (даже если они сходны с природными объектами тем, что не зависят от наших желаний) не идентичны природе. В реальном мире всегда присутствует время. Всё в потоке времени. Каждое сделанное нами наблюдение имеет временную отметку. Мы и все вещи вокруг нас существуют в течение определённого временного интервала и не существуют до и после него.
Математические объекты вне времени. Число не имеет даты рождения, прежде которой оно не существовало или принимало другое значение. Утверждение Евклида о том, что параллельные линии на плоскости не пересекаются, всегда останется верным. Математические утверждения касательно кривых или чисел не требуют временных характеристик. Но как нечто может существовать вне времени?[17]
Тысячелетиями люди спорят об этом и не пришли к единому мнению. Но одно предположение существует очень давно: математические объекты существуют вне нашего мира, в другой реальности. Таким образом, существует не два типа объектов, связанных со временем и вечных, а два мира: связанный с временем и вечный.
Представление о том, что математические объекты существуют в ином мире, приписывают Платону. Он учил, что математик, говорящий о треугольнике, говорит об идеальном треугольнике: в той же степени реальном, но существующем в ином мире — вне времени. Теорема о сумме углов треугольника, равной 180°, не выполняется точно для любого реального треугольника, но абсолютно верна для идеального треугольника. Когда мы доказываем теорему, мы узнаём о том, что вне времени, и показываем, что теорема была верна в прошлом и будет верна в будущем. Если Платон прав, то мы можем, рассуждая, узнавать вечные истины. Некоторые математики утверждают, что черпают знания из идеального мира.
Когда я желаю вкусить платонизма, я приглашаю на обед своего друга Джима Брауна. Мы оба любим вкусно поесть, и во время еды он не спеша и уже в который раз рассказывает мне о своей вере в мир математики, существующий вне времени. Джим — не обычный философ. Его острый ум сочетается с весёлым нравом. Вы сразу чувствуете, что он счастлив, и само знакомство с ним делает вас счастливым. Он прекрасно знает все доводы за и против платонизма и охотно обсуждает те, которые не может опровергнуть. Но я так и не смог пошатнуть его веру в существование вневременного мира математических объектов. Я иногда спрашиваю себя: уж не вера ли в идеальный мир делает Джима счастливым?
Лишь один вопрос ставит в тупик Джима и других поклонников Платона. Как мы — привязанные ко времени и находящиеся в постоянном контакте с другими объектами мира вещей — можем узнать об устройстве вечного мира математики? Мы проникаем в него путём рассуждений, но можем ли мы быть уверены, что эти рассуждения верны? По сути нет. Время от времени мы обнаруживаем ошибки даже в доказательствах теорем в учебниках, и нет сомнений, что там скрывается ещё множество ошибок. Эту проблему можно решить, предположив, что математические объекты не существуют вовсе — даже вне времени. Но тогда какой смысл рассуждать о несуществующем?
Я разговариваю о платонизме ещё с одним своим другом — физиком и математиком Роджером Пенроузом. Он убеждён, что абсолютная истина мира математики не может быть сформулирована на языке аксиом. Следуя великому логику Курту Гёделю, мы можем непосредственно познать математическую истину, которая лежит за рамками формальных аксиоматических доказательств. Однажды он заметил: «Вы абсолютно уверены, что 1 + 1 = 2. Это интуитивный факт, он не подвергается сомнению. 1 + 1 = 2. Вот доказательство того, что наши рассуждения могут преодолеть время. А как насчёт 2 + 2 = 4? Вы и в этом не сомневаетесь. 5 + 5 = 10? То же самое. Существует бесконечное количество самоочевидных фактов о вечном математическом мире». Пенроуз уверен, что наш разум может преодолеть поток восприятия и достигнуть вечности[18].
Как только мы поняли, что падение тел — универсальное явление, мы открыли феномен гравитации. Мы связали универсальное явление нашего мира, относящееся к привязанным ко времени объектам, с идеей из вечного мира. И если вы платонист, как Браун или Пенроуз, то открытие универсальности падения тел по параболе есть не что иное, как доказательство связи между нашим миром и миром вечности и красоты. Простое наблюдение, сделанное Галилеем, приобретает религиозное значение. Оно показывает, как вечность входит в наш мир.
Это соображение влечёт к науке очень многих — и меня самого. Но сейчас я думаю, что это представление ошибочно. Мы убеждены, что объясняем вещи, привязанные ко времени, с помощью вневременных сущностей. Поскольку у нас нет доступа в мир вечности, рано или поздно мы обнаружим, что сами его придумали. Убеждение, будто нашу Вселенную можно полностью описать с помощью иного мира, отчуждённого от всего, что мы можем познать в ощущении, — ерунда. Если мы это принимаем, граница между наукой и мистицизмом размывается.
Мы стремимся к трансцендентному. Желание избегнуть боли, смерти, тягот питает религию и мистицизм. Но разве поиск истины превращает математика в жреца? Можем ли мы признать занятия математикой разновидностью религиозной деятельности? Следует ли обращать внимание на рассуждения наиболее рационально мыслящих из нас, математиков, о трансцендентном, об избавлении от «оков жизни»?
Более серьёзной задачей является описание Вселенной самой по себе: объяснение реального через реальное и привязанного ко времени через привязанное ко времени. Это трудный путь, но он верен. Наградой нам станет понимание значения времени как такового.
16
Математики говорят о кривых, числах и так далее как о математических «объектах», что предполагает их своего рода существование. Вам, возможно, будет удобнее называть их «понятиями». Я буду использовать оба этих слова.
17
Не совсем верно говорить, будто математическая истина вне времени: ощущения и мысли приходят в определённые моменты времени, и мы думаем (во времени), кроме прочего, и о математических объектах. Сами по себе они во времени не существуют. Они не рождаются, они не изменяются — они просто есть.
18
Многие великие математики в это верят, например Ален Конн. См.: Changeux, Jean-Pierre, and Alain Co