Этюды о Вселенной

Атомы гелия, однако, имеют очень небольшую массу та, из-за чего вступает в силу соотношение неопределенности Гейзенберга.

Это соотношение ограничивает точность, с которой можно измерить положение или скорость частицы. Оно утверждает, что:

(Ошибка в скорости) × (Ошибка в положении) ≥ h / m

(h представляет собой универсальную постоянную Планка, появляющуюся в квантовой теории: h = 6,626·10–27 эрг·с; как уже было сказано, она выражает, например, пропорциональность между энергией фотона E и его частотой ν: E = hν).

Следовательно, если мы говорим, что атом остановился на дне рва, да еще точно задаем его положение, то тем самым констатируем неопределенность его скорости. При большой величине m еще можно обойти возникшую трудность, отказавшись от точного задания положения атома и уменьшив таким образом его скорость. Если же, однако, масса от мала, как в случае атома гелия, то попытки ограничить его местонахождение областью притяжения в конце концов придадут атому достаточную скорость и, следовательно, энергию, чтобы из этой самой зоны выйти.

Сверхтекучесть

По этой причине решетка атомов гелия не образуется, и он не затвердевает, если только не заставить атомы проделать это насильно, сжав гелий до давления 25 атм. и более. При охлаждении гелий превращается в жидкость, а при дальнейшем понижении температуры наблюдается поразительное явление – переход к сверхтекучему состоянию, не имеющему аналогов ни в одной другой системе, за исключением, быть может, ядерной жидкости в нейтронных звездах да еще сверхпроводников. Переход от нормального состояния к состоянию «сверхжидкости» представляет собой исключительное зрелище.

Нормально жидкий гелий непрерывно поглощает тепло от стенок сосуда, в котором находится; при этом он бурно кипит, как вода в кастрюле. При достижении так называемой λ-точки, т.е. 2,17 градусов Кельвина, гелий вдруг перестает кипеть, хотя и продолжает интенсивно испаряться. Дальше такая жидкость может течь без видимых следов вязкости (отсюда и название – сверхтекучесть), проходя беспрепятственно через очень маленькие отверстия и капилляры. Что же происходит в λ-точке? Мы попытаемся дать доступный ответ на этот вопрос.

Статистика Бозе-Эйнштейна

Вспомним, что элементарные частицы делятся на две большие категории, на фермионы и бозоны. Электрон и нуклоны относятся к первым, а фотон и пионы – ко вторым. Соединяя вместе два фермиона, мы получим бозон, один бозон и один фермион дадут фермион, и, наконец, объединив два бозона, мы получим бозон. Другими словами, если считать фермионы «нечетными», а бозоны «четными» и рассматривать объединенные частицы, как сумму фермионов и бозонов, то мы как раз получим описанные правила, из которых, кстати, следует, что атом гелия представляет собой бозон. Действительно, он содержит два электрона, два протона и два нейтрона. Говорят также, что бозоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, а фермионы – статистике Ферми-Дирака; в основе этих утверждений лежит следующий эмпирический факт.

Мы знаем, что все частицы определенного сорта (например, электроны) абсолютно неразличимы; поменяв два электрона местами, мы получим физическое состояние, которое не только практически не отличается от начального, но даже считается совпадающим с ним. Это утверждение справедливо как для бозонов, так и для фермионов. Фермионы еще подчиняются принципу исключения Паули, запрещающему двум одинаковым фермионам находиться в одном и том же состоянии.

Возвращаясь к бозонам, мы видим, что правила статистики (например, то, что состояния, отличающиеся обменом двух или более одинаковых бозонов, считаются одинаковыми) приводят к любопытным последствиям. Представим, что мы имеем два бозона а и В, и рассмотрим два разных состояния, обозначенные скобками. Мы можем помещать свои бозоны в то или иное состояние (скобки). Итак, запись (А) (В) указывает, что в первом состоянии находится бозон А, а во втором – В. Можно составить следующие четыре разные комбинации: (АВ) (), (А) (В), (В) (А), () (АВ). Если, однако, частицы а и в одинаковы, то две средние комбинации неразличимы, и мы получим всего три возможных состояния. Мы видим, что доля случаев, когда одинаковые частицы находятся вместе, увеличилась с одной второй до двух третей. Это, кажется, мало, но при переходе к очень большому количеству частиц выигрыш увеличивается и благоприятствует собиранию одинаковых бозонов в одном состоянии, что в некотором смысле противоположно принципу исключения Паули.

Следовательно, если в каком-либо состоянии имеется бозон, то вероятность найти в этом же состоянии еще бозоны заранее возрастает.

Далее, все атомы гелия представляют собой одинаковые бозоны, следовательно, они стремятся оказаться в одном и том же состоянии. Если бы отсутствовали силы взаимодействия между атомами и атомы были совершенно прозрачны друг для друга, то наблюдалась бы так называемая конденсация Бозе-Эйнштейна: при абсолютном нуле все атомы обрели бы минимальную скорость, допустимую соотношением неопределенности Гейзенберга. Поскольку местонахождение атома ограничено только тем, что он находится внутри сосуда с жидкостью, то неопределенность в его положении может достигать размеров этого сосуда, в то время как неопределенность в скорости при этом окажется очень небольшой. Следовательно, все атомы попали бы в одно и то же состояние абсолютного покоя, их положение в сосуде стало бы совершенно неопределенно, атомы с равной вероятностью могли бы находиться в любом месте.

Взаимодействие между атомами гелия

Однако если мы снова введем взаимодействие между атомами, то они уже не смогут неопределенно долго перемещаться в сосуде, не наталкиваясь на своем пути на другие атомы. в жидком гелии атом может беспрепятственно проходить только микроскопические расстояния порядка нескольких ангстрем (1 ангстрем = 1 Å = 10–8 см). Вокруг любого атома все остальные создают заслон, похожий на клетку, из которой он выйти не может. Все же мы здесь имеем дело не просто с обычными шариками, но с бозонами. Приблизившись к стенке клетки, атом может поменяться местами с одним из окружающих атомов, который займет место внутри клетки. Атом может таким образом выйти за пределы клетки и, повторяя этот процесс, передвигаться по всему объему сосуда, хоть и не с такой легкостью, как прежде. Легкость, с которой происходит такое передвижение атомов, и отражает степень конденсации Бозе-Эйнштейна.

Другими словами, из-за взаимодействия между атомами вероятность оказаться им всем вместе в покое в самом нижнем состоянии исчезает, хотя и не совсем. Оставшаяся вероятность как раз и объясняет явление сверхтекучести; при абсолютном нуле состояние системы сравнимо с состоянием жидкости, в которой атомы могут свободно перемещаться в сосуде, но передвигаются еле-еле, только меняясь местами с соседними атомами. Известно, что при таких условиях среднее расстояние между атомами равно трем ангстремам, и все конфигурации, соответствующие таким усредненным условиям, равновероятны.

Волны и фононы

Сообщая системе энергию, мы возбуждаем в жидкости колебания в виде звуковых волн. Как в случае обычного звука в воздухе, в жидкости наблюдаются циклы чередующихся областей сжатия и разрежения. Согласно де Бройлю, понятия волны и частицы представляют дуальные, или дополнительные по отношению друг к другу, способы описания одного и того же явления. Частица с импульсом р имеет длину волны λ = h / p, и, наоборот, волне с длиной λ мы приписываем свойства частицы с импульсом р = h/λ. Итак, звуковая волна соответствует частице (или, лучше, «квазичастице»), называемой «фононом» и движущейся в жидкости как раз со скоростью звука и импульсом р = h/λ. Такое движение можно сравнить с движением фотона света.

Возбуждая колебания в полости, наполненной жидким гелием, мы тем самым создаем фононы, которые сгущаются все больше и больше; при этом температура гелия увеличивается до тех пор, пока фононы не образуют особый газ, сосуществующий с возбужденной жидкостью или, если угодно, «являющийся» самой этой жидкостью. Здесь важно, что такой фононный газ ведет себя как газ (или жидкость), состоящий из частиц. в частности, в нем наблюдаются «звуковые» волны второго поколения, называемые «вторым звуком» и предсказанные Ландау. Как обычный звук представляет собой волны сжатия и разрежения атомов газа или жидкости, так второй звук – это волны сгущения и разрежения фононов. Сгущение же фононов приводит к увеличению температуры, из-за чего второй звук в действительности отвечает чередующимся волнам тепла и холода, и для того чтобы его почувствовать, необходим термометр!