Страница 6 из 9
3. Столбец MS означает дисперсию на одну степень свободы, которая находится по следующей формуле:
Для строки РЕГРЕССИЯ — это факторная, или объясненная, дисперсия:
Dфакт = МSфакт = 21 779,45/1 = 21 779,45.
Для строки ОСТАТОК — это остаточная дисперсия:
Dост = MSост= 8676,619/213 = 40,7353.
4. В столбце F дается фактический F-критерий Фишера, который находится путем сопоставления факторной и остаточной дисперсии на одну степень свободы. При этом F-критерий Фишера рассчитывается по следующей формуле:
Если нулевая гипотеза (об отсутствии связи между переменными, включенными в уравнение регрессии) справедлива, то факторная и остаточная дисперсия не отличаются друг от друга. Чтобы уравнение регрессии было признано значимым, требуется опровержение нулевой гипотезы, а для этого необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную дисперсию в несколько раз. Статистиками разработаны соответствующие таблицы критических значений F-критерия при разных уровнях значимости нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. При этом следует иметь в виду, что табличное значение F-критерия — это максимальная величина отношения факторной дисперсии к остаточной дисперсии, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Если фактический (т. е. рассчитанный для этого уравнения регрессии) F-критерий больше его табличного значения, то нулевая гипотеза об отсутствии связи между результативным признаком и факторами отклоняется и делается вывод о существенности этой связи.
5. В столбце ЗНАЧИМОСТЬ F дается уровень значимости, который соответствует величине фактического F-критерия Фишера, вычисленного для этого уравнения регрессии. В нашем случае значимость Fфакт практически равна нулю, т. е. Fфакт больше Fтабл (значения F-критерия Фишера при уровне значимости 0,05 или 5 % можно найти в любом учебнике по статистике) при 1 %-ном и 5 %-ном уровне значимости. Отсюда можно сделать вывод о статистической значимости уравнения регрессии, поскольку связь между включенными в него факторами в этом случае доказана.
В тех случаях, когда значимость F бывает больше, например, 0,01, но меньше 0,05, то тогда делается вывод, что Fфакт меньшеFтабл при 1 %-ном уровне значимости, но больше Fтабл при 5 %-ном уровне значимости. Следовательно, в этой ситуации нулевая гипотеза об отсутствии связи между результативным признаком и факторами, включенными в уравнение регрессии, на 1 %-ном уровне значимости не отклоняется, но отклоняется на 5 %-ном уровне значимости. Таким образом, в этом случае каждый исследователь должен сам решить, считать ли 5 %-ный уровень значимости F-критерия достаточным для того, чтобы сделать вывод о статистической значимости уравнения регрессии. При этом следует иметь в виду, что если значимость F-критерия выше 0,05, т. е. Fфакт меньше Fтабл при 5 %-ном уровне значимости, то в этой ситуации уравнение регрессии, как правило, считается статистически незначимым.
В таблице 2.4 сгенерированы коэффициенты уравнения регрессии и оценки их статистической значимости.
1. В столбце КОЭФФИЦИЕНТЫ представлены коэффициенты уравнения регрессии. На пересечении этого столбца со строкой Y-ПЕРЕСЕЧЕНИЕ дан свободный член, который в формуле линейного уравнения регрессии (2.2) обозначен символом а = 1,995805.
Во второй строке этого столбца, обозначенной как Time (независимая переменная — порядковый номер месяца), сгенерирован коэффициент уравнения регрессии, который в формуле (2.2) представлен символом b = 0,162166.
Таким образом, данные, представленные в столбце Коэффициенты, дают нам возможность составить путем подстановки соответствующих цифр в формулу (2.2) следующее уравнение линейной парной регрессии:
Y = 0,1622Х + 1,9958,
где независимая переменная X означает порядковый номер месяца (июнь 1992 г. — 1, а апрель 2010 г. — 215);
зависимая переменная Y — ежемесячное значение курса доллара.
При этом экономическая интерпретация этого линейного уравнения следующая: в период с июня 1992 г. по апрель 2010 г. курс доллара к рублю ежемесячно рос со средней скоростью 16,22 коп. при исходном уровне временного ряда в размере 1 руб. 99,58 коп. В свою очередь геометрическая интерпретация этого линейного уравнения следующая: свободный член уравнения 1,9958 показывает точку пересечения линии тренда с осью Y, а коэффициент уравнения 0,1622х равен углу наклона линии тренда к оси Х(см. рис. 2.5).
2. В столбце СТАНДАРТНАЯ ОШИБКА сгенерированы стандартные ошибки свободного члена и коэффициента регрессии, значения которых даны во втором столбце табл. 2.4. При этом стандартная ошибка свободного члена уравнения регрессии находится по следующей формуле:
где MSост = Dост — остаточная дисперсия, приходящаяся на одну степень свободы.
Для нашего случая стандартная ошибка свободного члена уравнения регрессии равна
В свою очередь стандартная ошибка коэффициента регрессии оценивается по следующей формуле:
Для нашего случая стандартная ошибка коэффициента регрессии имеет следующее значение:
3. В столбце t-СТАТИСТИКА даны расчетные значения /-критерия. При этом для свободного члена /-статистика вычисляется по формуле
где а — свободный член уравнения.
В нашем случае t-статистика находится следующим образом:
Для коэффициента регрессии t-статистика рассчитывается по формуле
где b — коэффициент регрессии.
Тогда Z-статистика находится следующим образом:
4. В столбце Р-ЗНАЧЕНИЕ сгенерированы уровни значимости, соответствующие значениям t-статистики.
В Excel Р-значение находится с помощью следующей функции:
СТЬЮДРАСП (X = tст; df= п- к — 1; хвосты = 2),
где в опции X дается t-статистика, для которой нужно вычислить двустороннее распределение;
в опции df — число степеней свободы; в опции хвосты — цифра 2 для двустороннего распределения.
Для свободного члена уравнения эта функция приобретает следующий вид:
СТЬЮДРАСП (2,284573; 215-1-1= 213; 2) = 0,023323.
Следовательно, Р-значение свободного члена уравнения показывает, что этот коэффициент значим лишь при 5 %-ном уровне значимости, но не при 1 %-ном уровне значимости.
Для коэффициента регрессии P-значение в Excel находится следующим образом[4]:
СТЬЮДРАСП (23,12267; 215 — 1–1= 213; 2) = 5,4Е — 60 = 0,0.
Следовательно, P-значение коэффициента регрессии показывает, что этот коэффициент значим не только при 5 %-ном уровне значимости, но и при 1 %-ном уровне значимости.
5. Столбцы НИЖНИЕ 95 % и ВЕРХНИЕ 95 % показывают соответственно нижние и верхние интервалы значений коэффициентов при 95 %-ном уровне значимости. Для расчета доверительных интервалов сначала устанавливается критическое значение /-критерия, которое в Excel находится с помощью функции
4
Здесь и далее необходимо учитывать, что при вычислении Р-значения коэффициента регрессии компьютерная программа может использовать число в экспоненциальном формате, который обычно применяется для обозначения очень больших или очень малых чисел. Часть числа заменяется символами Е + n (для очень больших чисел) и Е — n (для очень маленьких чисел), где Е (экспонента) означает умножение предшествующего числа на 10 в степени n. Если, например, число 5,4Е -60 перевести в числовой формат, то оно будет равно 0,00…