Сочинения

8.3. Разве ошибочное определение предмета и цели геометрии не создало уже ненужные трудности и неверные тенденции в названной науке?

8.4. Разве можно по справедливости сказать, что люди действуют в соответствии с научным методом, если они не представляют себе отчетливо ни предмета, о котором они говорят, ни предполагаемой цели, ни метода, с помощью которого она достигается?

8.5. Разве не достаточно того, что каждое определяемое число частей может содержаться в некой определяемой величине? и разве не является ненужным, а также абсурдным допущение, что конечная протяженность бесконечно делима?

8.6. Не будет ли верно, что чертежи в геометрическом доказательстве должны рассматриваться как знаки всех возможных конечных фигур, всех чувственных и воображаемых протяженностей или величин того же рода?

8.7. Разве возможно освободить геометрию от непреодолимых трудностей и нелепостей до тех пор, пока ее истинным предметом считается либо абстрактная общая идея протяженности, либо абсолютная внешняя протяженность?

8.8. Разве понятия абсолютного времени, абсолютного места и абсолютного движения не суть наиболее отвлеченно метафизические? Можем ли мы их измерить, высчитать или познать?

400

8.9. Разве математики не занимаются спорами и парадоксами, относящимися к тому, чего они не понимают и не могут понять? и разве теория сил не является достаточным доказательством этого? *

* См. трактат на латинском [языке] «De motu», опубликованный в Лондоне в 1721 г.

8.10. Разве не было бы достаточно рассматривать в геометрии определяемые конечные величины, не касаясь бесконечности? и разве не было бы более правильным измерять вместо кривых большие по размерам многоугольники с конечными сторонами, а не предполагать, что кривые являются многоугольниками с бесконечно малыми сторонами (предположение и неправильное, и непостижимое)?

8.11. Разве многие положения, с которыми не легко согласиться, не являются тем не менее истинными? и разве положения, содержащиеся в двух нижеследующих вопросах, не относятся к их числу?

8.12. Разве возможно, чтобы мы получили идею или понятие протяженности до движения? Или, если бы человек никогда не воспринимал движения, разве мог бы он когда-либо узнать или представить себе, что одна вещь отделена промежутком (to be distant) от другой?

8.13. Разве у геометрической величины есть сосуществующие части? и разве всякая величина, так же как время и движение, не находится в постоянном течении?

8.14. Можно ли предположить, что протяженность является атрибутом существа неизменного и вечного?

8.15. Разве отказ от изучения начал и раскрытия методов, используемых в математике, не свидетельствует о наличии фанатизма в математике?

8.16. Разве определенные положения, имеющие ныне хождение среди аналитиков, не противны здравому смыслу? и разве общепринятое предположение о том, что конечная величина, разделенная на нуль, бесконечна, не относится к их числу?

8.17. Разве рассмотрение геометрических чертежей абсолютно или самих по себе (а не как представляющих все определяемые значения или фигуры того же рода) не является главным основанием для предположения о том, что конечная протяженность бесконечно делима, и главной причиной всех трудностей и нелепостей, отсюда вытекающих?

401

8.18. Из того, что геометрические теоремы носят общий характер и вследствие этого линии на чертежах являются общими заменителями или представителями (representatives), следует ли, что мы не можем ограничивать или рассматривать [как ограниченное] число частей, на которые делятся такие конкретные линии?

8.19. Когда говорят или подразумевают, что такой-то определенный отрезок, обозначенный на бумаге, содержит больше, чем любое счетное число частей, разве в действительности следует здесь понимать нечто большее, чем знак, безразлично представляющий все конечные линии независимо от их величины? В каком относительном качестве он содержит, т. е. обозначает, больше, чем любое определяемое число частей? и разве не будет совершенно абсурдом предполагать, что конечная линия, рассмотренная сама по себе или в своей собственной положительной природе, может содержать бесконечное число частей?

8.20. Разве все аргументы в пользу бесконечной делимости конечной протяженности не предполагают или не подразумевают, что предметом геометрии являются либо общие абстрактные идеи, либо абсолютная внешняя протяженность? И, следовательно, разве такие аргументы также не теряют силу и не исчезают вместе с упомянутыми предположениями?

8.21. Разве предполагаемая бесконечная делимость конечной протяженности не является ловушкой для математиков и занозой у них в боку? и разве величина бесконечно уменьшенная (diminished) и величина бесконечно малая — не одно и то же?

8.22. Разве необходимо иметь дело со скоростями зарождающихся или исчезающих величин, или моментами, или бесконечно малыми величинами? и разве введение таких непостижимых категорий не является упреком математикам?

8.23. Разве внутренне противоречивые положения (inconsistencies) могут быть истинами? Разве можно в каком-либо предмете и какой-либо науке допускать положения противоречивые (repugnant) и абсурдные? и разве применение бесконечно малых величин следует признавать за достаточно благовидный предлог и основание для допущения таких положений в геометрии?

8.24. Разве мы не можем сказать, что мы действительно знаем какую-либо величину, когда нам известно ее пропорциональное отношение к данным величинам? и разве можно узнать это отношение при помощи каких-либо иных средств, кроме выражений или показателей, геометрических, алгебраических или арифметических? и разве выражения в линиях или образах (species) могут быть полезны иначе как лишь в той мере, в какой они сводятся к числам?

402

8.25. Разве нахождение истинных выражений или обозначений количеств не является самой общей чертой и стремлением математиков, а арифметическое действие — тем, что ограничивает и определяет их применение?

8.26. Разве математики в достаточной мере рассматривали аналогию и применение знаков? и насколько им соответствует конкретный ограниченный характер вещей?

8.27. Разве в силу того что при изложении общего чисто алгебраического примера мы можем в зависимости только от нашего собственного желания приписать какой-либо букве, что она будет обозначать положительную или отрицательную величину, мы можем затем в геометрическом примере, ограниченном гипотезами и рассуждениями, основанными на конкретных свойствах и отношениях фигур, претендовать на такую же вольность?

8.28. Разве изменение предположения или, как мы можем назвать это, fallacia suppositionis [20], не является софистикой, которой в значительной мере заражены обоснования современных теорий как в механической философии, так и в запутанной и сложной геометрии?

8.29. Разве мы в состоянии получить идею или понятие скорости отдельно (distinct) от ее измерений и отдельно от них, как мы можем получить понятие о теплоте отдельно от градусов на термометре, которыми она измеряется, и обособленно от них? и разве не это допускается в рассуждениях современных аналитиков?

8.30. Разве можно постичь движение в точке пространства? и если нельзя постичь движение, разве можно постичь скорость? и если нет, разве можно постичь первую или последнюю скорость в простом пределе, первоначальном или конечном, дескриптивного пространства?

8.31. Разве там, где нет приращений, может быть какое-либо соотношение приращений? Разве можно считать нули пропорциональными реальным величинам? Или: говорить об их пропорциях — разве не значит нести чепуху? Л также в каком смысле должны мы понимать отношение поверхности к линии, площади к ординате? и разве можно говорить, что образы или числа, действительно выражающие величины, не являющиеся однородными, тем не менее выражают свое отношение друг к другу?

403

8.32. Если возможна квадратура всех определяемых окружностей, разве круг в сущности не так же сводится к квадрату, как парабола? Или разве в действительности площадь, ограниченная параболой, может быть измерена более точно, чем круг?