Страница 36 из 40
Представьте скользкий упругий резиновый шнур, который максимально сжимается, оставаясь на поверхности объекта. С его помощью легко определить кратчайший путь между Нью-Йорком и Римом или, в случае необходимости, между любыми двумя точками на любой поверхности. Прикрепите концы шнура к точкам отправления и прибытия и позвольте ему растянуться, но так, чтобы он повторял контур поверхности. Когда шнур растянется настолько, насколько позволяет резина, — вуаля! — получится след кратчайшего пути.
На более сложных поверхностях, чем плоскости или сферы, может произойти нечто необычное: между двумя точками в локальной области может существовать множество кратчайших путей. Например, рассмотрим поверхность жестяной банки из-под консервированного супа с двумя точками, лежащими прямо друг под другом.
Кратчайшим путем между этими точками, как показано выше, явно будет отрезок, и наш упругий резиновый шнур нашел бы это же решение. Тогда что же здесь необычного? Цилиндрическая форма консервной банки открывает новые возможности для разного рода деформаций. Предположим, нам нужно, чтобы, прежде чем оказаться в конечной точке, шнур один раз опоясал консервную банку. (Подобное ограничение накладывается на спираль ДНК, когда она оборачивается вокруг определенных белков в хромосомах.) В этом случае шнур, натягиваясь, образует спираль, подобную спирали на торговых знаках парикмахеров[167].
Такая спиралевидная траектория рассматривается как еще одно решение в задаче о кратчайшем пути в том смысле, что это кратчайший из близлежащих путей. Если немного сдвинуть шнур, то он обязательно станет длиннее, а затем снова натянется и вернется в исходное положение. Можно сказать, что этот кратчайший путь — местный чемпион среди всех путей при однократном обертывании шнура вокруг цилиндра. (Кстати, именно поэтому данная область математики называется «дифференциальной геометрией». Она изучает влияние малых локальных различий (англ. differences) на такие характеристики геометрических объектов, как разность в длине между близлежащими спиралевидными путями.)
Но это еще не все. Есть еще один чемпион, который появится, если обвить шнуром банку дважды, и еще один, если обвить банку трижды, и так далее. На цилиндре существует бесконечное множество локальных кратчайших путей! Но ни один из них не является самым кратчайшим. Прямолинейный путь короче всех других.
Поверхности с отверстиями и ручками имеют много локально кратчайших путей, отличающихся рисунком их переплетения вокруг различных частей поверхности. Следующий стоп-кадр из видео математика Конрада Полтье[168] из Свободного университета Берлина иллюстрирует неоднозначность этих локальных кратчайших путей, то есть геодезических линий, на поверхности придуманной планеты в форме восьмерки, которую специалисты называют тором с двумя отверстиями.
Три показанные здесь геодезические линии различной формы проходят по разным частям планеты, но их объединяет то, что они самые короткие по сравнению с близлежащими путями. И так же, как прямые линии на плоскости или большие окружности на сфере, эти геодезические линии — самые прямые из возможных кривых на поверхности. Они огибают ее, но не перегибаются сами. Чтобы пояснить это, Полтье сделал еще одно учебное видео.
Мотоцикл без водителя едет по геодезическому шоссе, повторяющему рельеф тора с двумя отверстиями. Примечательно, что руль заблокирован так, чтобы мотоцикл двигался только прямо и не мог съехать с дороги. Поэтому нет необходимости им управлять. Это усиливает уже сложившееся мнение о том, что геодезические линии, как и большие окружности на сфере, представляют собой естественное обобщение прямых линий.
После такого буйства фантазии вам, возможно, будет интересно узнать, есть ли у геодезических линий что-либо общее с реальностью. Конечно есть. Эйнштейн доказал, что, когда лучи света движутся по Вселенной, они перемещаются по геодезическим линиям. Знаменитый изгиб света звезд вокруг Солнца, обнаруженный при наблюдении солнечного затмения 1919 года, подтвердил, что свет движется по геодезическим линиям искривленного пространства-времени в соответствии с деформацией, вызванной притяжением Солнца.
На более приземленном уровне математика поиска кратчайших путей имеет решающее значение для маршрутизации трафика в интернете. Однако пространство всемирной сети, в отличие от гладких поверхностей, рассмотренных выше, — это гигантский лабиринт адресов и ссылок, а математические задачи о кратчайших путях трансформированы в задачи нахождения самых быстрых путей[169]. Учитывая множество потенциальных маршрутов, их решение было бы невозможным, если бы изобретательность математиков и компьютерщиков не упростила его.
Иногда люди используют утверждение «кратчайший путь между двумя точками — это прямая линия» в переносном смысле, подтверждая тем самым присутствие здравого смысла. Другими словами, «не усложняй без необходимости». Но преодоление пути с препятствиями способно поднять до больших высот, поэтому и в искусстве, и в математике часто стоит наложить на себя определенные ограничения. Сочиняйте хайку и сонеты или расскажите историю своей жизни всего в шести словах[170]. То же самое верно для всех направлений математики, призванных помочь вам найти кратчайший путь решения той или иной задачи, которую задает вам жизнь.
Две точки. Много путей. Математический экстаз.
29. Анализируй это!
Математика чванлива и самодовольна. Она, подобно главе мафиозного клана, производит впечатление особы решительной, неуступчивой и сильной. Она сделает вам такое предложение, от которого вы не сможете отказаться.[171]
Но наедине с собой математика не всегда так уверена в себе. Она колеблется. Задает себе вопросы и порой сомневается в том, что они правильные. Особенно там, где дело касается бесконечности. Бесконечность может заставить математика бодрствовать ночами, вызывая тревогу, суетливость и чувство экзистенциального ужаса. В истории математики были времена, когда спущенная с привязи бесконечность была настолько взвинчена, что появлялись опасения, что она может все перевернуть с ног на голову.
В сериале «Клан Сопрано» босс мафии Тони Сопрано, страдающий приступами панических атак и пытающийся понять, почему его мать хочет, чтобы его убили, консультируется у врача-психиатра. Под напускной жесткостью скрывается очень смущенный и напуганный человек.
Таким же образом исчисление уложило себя на кушетку психиатра именно тогда, когда казалось, что оно при смерти. После многолетнего триумфа, уничтожив все проблемы, стоявшие на пути, оно начало осознавать что-то нездоровое, настораживающее в самой своей основе. Именно то, что сделало его успешным, — его жестокие навыки и бесстрашие в манипулировании бесконечными процессами — в настоящее время угрожало его уничтожить. И терапией, которая в конечном итоге помогла преодолеть этот кризис, стал, по случайному совпадению, анализ[172].
Вот пример одной из задач, которые волновали математиков XVIII века. Рассмотрим бесконечную сумму
1 — 1 + 1–1 + 1–1 +…
Это числовой эквивалент незатухающих колебаний[173]: шаг вперед, шаг назад, шаг вперед, шаг назад и так далее до бесконечности.
167
Традиция пришла из средних веков, когда парикмахеры, чтобы привлечь внимание горожан к своему бизнесу, вешали на стене парикмахерской специальные знаки (что-то вроде вывески) в виде цилиндров, раскрашенных спиралями белого и красного цветов. В настоящее время в США эти знаки красят в белый, красный и синий цвета, а сам цилиндр помещается в стеклянную капсулу.
168
Фрагменты из ряда увлекательных образовательных видео по разделам математики Полтье можно найти в интернете по адресу: http://page.mi.fu-berlin.de/polthier/video/Geodesics/Scenes.html. Видео Полтье и его коллег, получившие награды на фестивале VideoMath Festival, размещены на http://page.mi.fu-berlin.de/polthier/Events/VideoMath/index.html. Для получения дополнительных сведений см. G. Glaeser and K. Polthier, A Mathematical Picture Book (Springer, 2012). Изображения, использованные в этой главе, взяты из DVD Touching Soap Films (Springer, 1995), by Andreas Arnez, Konrad Polthier, Martin Steffens, and Christian Teitzel.
169
Классический алгоритм для задач нахождения кратчайшего пути разработан Эдсгером Дейкстрой. За информацией обращайтесь по адресу http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra’s_algorithm. Стивен Скиена разместил в своем блоге анимированную инструкцию алгоритма Дейкстры, см. http://www.cs.sunysb.edu/~skiena/combinatorica/animations/dijkstra.html.
170
Восхитительные примеры историй в шести словах даны на страницах http://www.smithmag.net/sixwords/; http://en.wikipedia.org/wiki/Six-Word_Memoirs.
171
«Анализируй это» (англ. Analyze This!) — фильм режиссера Гарольда Рамиса (1999). Влиятельный нью-йоркский мафиози Пол Витти — на грани нервного срыва. Все гангстеры в шоке: как помочь своему чокнутому боссу? Бен Соболь — обычный психоаналитик. У него есть всего несколько дней на то, чтобы помочь «крестному отцу» справиться с депрессией. Прим. перев.
172
Анализ возник в связи с необходимостью укрепить логические основы исчисления. Уильям Данхэм прослеживает его историю на основе работ одиннадцати гениальных математиков, от Ньютона до Лебега, в книге W. Dunham, The Calculus Gallery (Princeton University Press, 2005). Эта книга содержит точные математические представления, которые будут понятны читателям уровня выпускников колледжа. См. также учебник, написанный в аналогичной манере, D. Bressoud, A Radical Approach to Real Analysis, 2nd edition (Mathematical Association of America, 2006). Для более полного исторического обзора см. C. B. Boyer, The History of the Calculus and Its Conceptual Development (Dover, 1959).
173
Об истории ряда Гранди 1–1 + 1–1 + 1–1 +… его дальнейшем математическом статусе и его роли в математическом образовании говорится в статье «Википедии», опирающейся на тщательно отобранные источники, со ссылками по темам. Все это можно найти на странице Grandi’s series («Ряды Гранди») по адресу http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi’s_series.