Страница 37 из 40
Значит ли это, что данная последовательность чисел имеет какой-нибудь смысл? И если да, то чему она равна в результате?
Оптимист, дезориентированный бесконечно длинным выражением, подобным этому, может надеяться, что некоторые из старых правил, выкованных опытом взаимодействия с конечными суммами, останутся в силе. Например, мы знаем, что 1 + 2 = 2 + 1. Когда мы складываем два числа и более в виде конечной суммы, мы всегда можем поменять их порядок без изменения результата: a + b равно b + a (коммутативный закон сложения). И когда в выражении больше чем два члена, мы можем, поставив скобки, самозабвенно группировать его члены, не влияя на окончательный результат. Например: (1 + 2) + 4 = 1 + (2 + 4): сложение 1 и 2, а затем 4, дает тот же ответ, что и сложение 2 и 4, а затем 1. Это называется ассоциативным (сочетательным) законом сложения. Он работает, даже если суммируются несколько чисел. Мы знаем, что вычитание числа — то же самое, что прибавление отрицательного числа. Например, рассмотрим сумму, состоящую из первых трех членов записанного выше числового ряда, и зададим вопрос: что такое 1–1 + 1? Мы могли бы представить это как: (1–1) + 1 или 1 + (–1 + 1), где во втором выражении в скобках вместо вычитания 1 прибавляем –1. В любом случае ответ будет: 1.
Но когда мы попытаемся обобщить эти правила для бесконечных сумм, то столкнемся с несколькими неприятными сюрпризами. Посмотрите на возникающее противоречие: если мы возьмем ассоциативный закон и доверчиво применим его к 1–1 + 1–1 + 1–1 +… С одной стороны, мы можем сократить положительные и отрицательные единицы, группируя их следующим образом:
1 — 1 + 1–1 + 1–1 +… = (1–1) + (1–1) + (1–1) +… = 0 + 0 + 0 +… = 0.
С другой — можно точно так же, как здесь показано, поставить скобки и сделать вывод, что результат равен 1.
1 — 1 + 1–1 + 1–1 +… = 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) +… = 1 + 0 + 0 +… = 1.
Ни один из этих способов не кажется более убедительным, поэтому какова вероятность, что сумма равна и 0, и 1? Сегодня для нас это предположение звучит абсурдно, но в то время некоторые математики утешились его религиозным подтекстом. Он напоминал им о богословском утверждении, что Бог создал мир из ничего. Как написал в 1703 году математик и священник Гвидо Гранди: «Поставив по-разному скобки в выражении 1–1 + 1–1 +… я могу, если хочу, получить 0 или 1. Но тогда идея творения из ничего (лат. ex nihilo) совершенно правдоподобна».
Тем не менее очевидно, что Гранди предпочитал третье значение суммы, отличное от 0 или 1. Догадаетесь ли вы, какое именно? Подумайте, что можно сказать, если вы с ученым видом валяете дурака.
Правильно. Гранди считал, что истинная сумма равна . И великие математики, в том числе Лейбниц и Эйлер, были с ним согласны. Несколько линий рассуждения подтверждали этот компромисс. Например, 1–1 + 1–1 +… можно выразить с помощью собственных членов следующим образом. Давайте использовать букву S для обозначения суммы. Тогда по определению
S = 1–1 + 1–1 +…
Теперь оставим первую 1 в правой части уравнения в покое и займемся остальными его членами. Они создают собственную копию S, и члены, стоящие справа от первой 1, вычитаются из нее:
S = 1–1 + 1–1 +… = 1 — (1–1 + 1 —…) = 1 — S.
Так что S = 1 — S и, следовательно, S = .
Дебаты по поводу суммы 1–1 + 1–1 +… бушевали почти 150 лет, пока новое поколение аналитиков не водрузило все виды исчисления и его бесконечные процессы (пределы, производные, интегралы, бесконечные ряды) на прочный фундамент раз и навсегда. Они воссоздали предмет с нуля, выстроив строгую логическую структуру, как в Евклидовой геометрии.
Два основных понятия числового ряда — частичные суммы и сходимость. Частичная сумма представляет собой нарастающую сумму. Вы просто суммируете конечное число членов, а затем останавливаетесь. Например, если сложить первые три члена ряда 1–1 + 1–1 +… получим 1–1 + 1 = 1. Давайте назовем это S3. Буква S обозначает «сумму», а индекс 3 показывает, что мы сложили только первые три члена. Вот несколько первых частичных сумм для этого ряда
S1 = 1
S2 = 1–1 = 0
S3 = 1–1 + 1 = 1
S4 = 1–1 + 1–1 = 0.
Таким образом, мы видим, что частичные суммы скачут между 0 и 1, и при этом не наблюдается никакой тенденции остановиться на 0, 1, или где-нибудь еще. По этой причине современные математики сказали бы, что сумма 1–1 + 1–1 +… не сходится.
Другими словами, частичные суммы не стремятся ни к какому предельному значению по мере увеличения числа членов, включенных в них. Поэтому сумма этого бесконечного ряда не имеет смысла.
Итак, мы придерживаемся прямой и узконаправленной линии поведения: не тратим впустую время и ограничиваемся анализом только тех рядов, которые сходятся. Значит ли это, что мы избежим встреченных ранее противоречий?
Пока нет. Кошмар продолжается. И это хорошо, что он существует, потому что напуганные им аналитики XIX века открыли более глубокие тайны в самом сердце исчисления, а затем вытащили их на свет. Извлеченные из этого уроки оказались бесценными не только для математики, но и для ее приложений во всех областях — от музыки до медицинской визуализации.
Рассмотрим ряд, известный в гармоническом анализе как знакочередующийся гармонический ряд:
1 — + — + — +…
Вместо одного шага вперед и одного назад здесь шаги становятся все короче и короче. Один шаг вперед, но только полшага назад, затем треть шага вперед и четверть шага назад и так далее. Обратите внимание на следующую закономерность: дроби с нечетным знаменателем имеют положительные знаки, а с четным — отрицательные. Частичные суммы в данном случае равны:
S1 = 1
S2 = 1 — = 0,500
S3 = 1 — + = 0,833…
S4 = 1 — + — = 0,583…
И если вы рассмотрите достаточно много таких сумм, то обнаружите, что они нацеливаются на число, близкое к 0,69. Действительно, можно доказать, что этот ряд сходится. Его предельное значение равно натуральному логарифму от 2 (обозначается ln2), приблизительно составляющему 0,693147.
Так что же здесь кошмарного? На первый взгляд, ничего. Знакочередующийся гармонический ряд походит на паиньку: сходящийся, с хорошим поведением. Ваши родители похвалили бы его.
Именно это и делает его опасным. Это хамелеон, мошенник, скользкий тип, который может быть кем угодно. Если переставлять его члены в произвольном порядке, вы можете подвести его сумму к любому значению. Буквально. Например, 297, 126 или –42π, или 0, или любому другому.
Это выглядит так, будто ряд полон презрения к коммутативному закону сложения. Просто просуммировав его члены в иной последовательности, вы можете изменить ответ, чего никогда не произошло бы с конечной суммой. Поэтому, даже если исходный ряд сходится, в нем по-прежнему будут странности, которые невозможно представить в обычной арифметике.